第22講 完全数の探索
第3話 メルセンヌ数とメルセンヌ素数
メルセンヌ数とは、自然数nによって図1と表された数です。
これを図2という記号で表します。
メルセンに数を小さい順に並べますと、
1,3,7,15,31,63,127,・・・
ということになります。
これは2進数で表したときの、
1,11,111,1111,11111,11111,111111,・・・・
に対応します。
つまり、全部の位の数字が1からなる数字ということになります。
素数の性質は、何進数で表そうと同じですから、
もう一度10進数に直します。
1,3,7,15,31,63,127,・・・
この中で、3,7,31はどういう数ですか。
そうです。
素数です。

どうしてメルセンヌ数が完全数の講に出てくるのでしょうか。
実は、メルセンヌ素数から完全数が作れるのです。
図2が素数であるとき、式3が完全数になるのです。
図2が3であるとき、n=2ですね。
このとき、式3式3=2×3=6
です。
6=1+2+3
で6は完全数です。
また、 図2が7であるとき、n=3で、
式3式4=4×7=28
28=1+2+4+7+14
で完全数です。
さらに、図2が31であるとき、n=5で、
式3式5=16×31=469
これも完全数でしたね。
どうして、図1が素数のとき、式3が完全数になるのでしょうか。
これは高校数学の範囲内で簡単に示すことが出来ます。
興味がある方は、新設されたページ素数と完全数の研究をご覧下さい。

では、図1が素数のとき、式3は完全数であることを利用して、
5番目までの完全数を求めるプログラムを考えて下さい。
図3


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