（２）解答その２超解説

第２問 2008年度東大数学理系第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１）ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２）ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（１）の答案その２超解説その１

証明すべき命題を(＊)とする。
ⅰ　ｍ＝０のとき、
　　　＝＝＝１
　　　＝＝１
　　　＝＝３
　　したがって、はで割り切れが、では割り切れないから
　　(＊)は成り立つ。
ⅱ　ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、
　　はで割り切れるが、では割り切れない。
　　
＝（）（）
＝
＝
　　は各位の数字の和が３で３の倍数であり、
　　９の倍数ではない。
　　したがって、はで割り切れるが、では割り切れないから、
　　(＊)はｍ＝ｋ＋１の場合も成り立つ。

　以上ⅰⅱより、０以上のすべての整数について(＊)が成り立つことが証明された。

（１）（２）の解答超解説を読んできた皆さんには、

　　
＝（）（）
＝
＝
の部分のみを解説すれば十分ですよね。
もし、（１）（２）の解答超解説をお読みになっていない場合は是非お読み下さい。
例えば、１１１１１１１１１÷１１１を計算してみて下さい。
１１１１１１１１１÷１１１＝１００１００１
です。
すなわち、
１１１１１１１１１＝１１１×１００１００１です。
簡単な計算ですから、是非とも電卓を使わないで確認してみて下さい。

これは、
はで割り切れるが、
　　　では割り切れない
であるとすれば、ｍ＞０ならはで割り切れ、その商は３の倍数だろうという予測から考えています。
というとかっこよすぎて、
実際には、

の計算をしてみて、
はで割り切れるが、
　　　では割り切れない
であるとすれば、ｍ＞０ならはで割り切れ、その商は３の倍数だろうという予測が
生まれたが正しい言い方です。
『ｍ＞０ならはで割り切れ、その商は３の倍数だろう』
は当然の予測ですが、試験の現場で思いつくかといったら、
結構難しいと思いますよ。
これが思う浮かべば、（１）はあっさり落城し、
そうしたら東大の入試問題が簡単に解けることになってしまうからです。

という試行錯誤をやって着想を得た、ヒントを得たが本当のところです。

＝という記号を導入すれば、
＝が成立することを証明すれば、この証明は終わります。
なぜなら、＝は明らかに、
各位の数字の和は３では３の倍数で９の倍数でないからです。
はです。
そもそも

がどうして成立するか分かりますか。
＝＝
ここでは
＝
という因数分解の公式が利用されています。
ａをｒの置き換えれば、
＝
初項が１のときの等比数列の和の公式であると考えてもいいですね。
佐藤流の受験勉強の極意をいえば、
数学はいろいろな単元と関連づけて学べです。
だからこそ、東大の入試問題は受験勉強に最適なのです。
いろいろな解法があり、それが数ⅠＡⅡＢⅢＣの各単元と関連があり、
東大の入試問題を解いているうちに各単元の基礎が確認できるからです。
＝＝から
＝
は当然ですね。
ｎのところにを代入しただけです。
さて、
（）（）
＝
の計算ですが、
まず、（）
を計算してましょう。
＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝

　　　・　・　・
　　　・　・　・
　　　　　　＝

ですから、（）の計算結果は

となります。次に、（）を計算してみると

　　　・　・　・
　　　・　・　・
　　　　　　　＝
ですから、（）の計算結果は

最後に（）・１の計算結果は
です。
３つを並べてみると

見事に連続しています。
以上から、
　　
＝（）（）
＝
＝
が成立するわけです。

（１）の解法その２　第３問問題へ
　

数独ナンプレ解き方コツ解法難問テクニック研究