第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、定義をｎで表す。たとえば１，
２，３である。
（１） ｍを0以上の整数とする。３のｍ乗は３のｍ乗で割り切れるが、
　　　３のｍ＋１乗では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　ｎが２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（１）の答案その２
証明すべき命題を(＊)とする。
ⅰ　ｍ＝０のとき、
　　　３のｍ乗＝３の０乗＝１＝１
　　　３のｍ乗＝１＝１
　　　３のｍ＋１乗＝３の１乗＝３
　　したがって、３のｍ乗は３のｍ乗で割り切れが、３のｍ＋１乗では割り切れないから
　　(＊)は成り立つ。
ⅱ　ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、
　　３のｋ乗は３のｋ乗で割り切れるが、３のｋ＋１乗では割り切れない。
　　３のｋ乗Ａ
＝（Ｂ）（Ｃ）
＝Ｄ
＝３のｋ＋１乗
　　Ａは各位の数字の和が３で３の倍数であり、
　　９の倍数ではない。
　　したがって、３のｋ＋１乗は３のｋ＋１乗で割り切れるが、３のｋ＋２乗では割り切れないから、
　　(＊)はｍ＝ｋ＋１の場合も成り立つ。

　以上ⅰⅱより、０以上のすべての整数について(＊)が成り立つことが証明された。


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