第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（２）の解答その１ 超解説その６（必要条件側の有力手その２）

逆に、が２７で割り切れると仮定すると、 適当な自然数ｐによって、 ＝２７ｐ・・・・② と表すことができる。 しがたって、の各位の数字の和ｎは９の倍数であるから、 適当な自然数ｑによって、 ｎ＝９ｑ・・・・③ とおくことができる。 よって、 ＝ 　　　＝ 　　　＝ ②より ＝２７ｐ （１）よりは９の倍数であるが、２７の倍数でないから、 は３の倍数である。 の各位の数字の和はｑであるから、 ｑも３の倍数である。 よって、③からｎは２７の倍数である。

の部分の超解説その２！

グループ分け

で失敗しましたので、次の有力候補

を試す番です。
例によって分解します。

すると答案のように、

＝ 　　　＝ 　　　＝ ②より ＝２７ｐ （１）よりは９の倍数であるが、２７の倍数でないから、 は３の倍数である。 の各位の数字の和はｑであるから、 ｑも３の倍数である。 よって、③からｎは２７の倍数である。

進みます。

②より ＝２７ｐ （１）よりは９の倍数であるが、２７の倍数でないから、 は３の倍数である。

の部分はが、
３の倍数であることを示すのが目的です。
が（１）より２７の倍数でないところがミソです。
因数分解したとき少なくともには、
３が１つなければならないことになります。ですから、

によって、ｎは９×３の倍数であることにあり、
ｎが２７で割り切れることが証明できたわけです。



（２）の解答その１ 超解説その５へ　（１）の解答その２へ
　


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