第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（２）の解答その１ 超解説その５（必要条件側の有力手その１）

逆に、が２７で割り切れると仮定すると、 適当な自然数ｐによって、 ＝２７ｐ・・・・② と表すことができる。 しがたって、の各位の数字の和ｎは９の倍数であるから、 適当な自然数ｑによって、 ｎ＝９ｑ・・・・③ とおくことができる。 よって、 ＝ 　　　＝ 　　　＝ ②より ＝２７ｐ （１）よりは９の倍数であるが、２７の倍数でないから、 は３の倍数である。 の各位の数字の和はｑであるから、 ｑも３の倍数である。 よって、③からｎは２７の倍数である。

の部分の超解説その２！

グループ分け

をまず、次のように分解します。

すると、
＝
　　 ＝
　　 ＝
となります。

は１が個ありますから、各位の数字の和はで９です。
ということはは９の倍数です。
は整数ですからも９の倍数になり、
の各位の数字の和も９の倍数です。
の各位の数字の和
ｎ＝の各位の数字の和
からｎが９の倍数まではいえます。
ですが、ｎが２７の倍数とはいえません。
後一歩ですが、踏破できませんでした。
悔しいですね。

ここでも『各位の数字の和が２７の倍数であればその整数は２７の倍数である』
とはいえないことが災いしています。
もし、『各位の数字の和が２７の倍数であればその整数は２７の倍数である』が成り立てば、
が２７の倍数で、の各位の数字の和ｎも２７の倍数であると簡単にいえたわけですが、
『各位の数字の和が２７の倍数であればその整数は２７の倍数である』が成り立たないことに、
東大の先生方は注目してこの問題を作ったのでしょう。
ですから、『各位の数字の和が２７の倍数であればその整数は２７の倍数であるとはいえない』
ことが2008年度 東大数学 理系 第５問の最大のキモといえるでしょう。



（２）の解答その１ 超解説その４へ　（２）の解答その１ 超解説その６へ
　


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