第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（２）の解答その１ 超解説その４（必要条件側の肝は？）

逆に、が２７で割り切れると仮定すると、 適当な自然数ｐによって、 ＝２７ｐ・・・・② と表すことができる。 しがたって、の各位の数字の和ｎは９の倍数であるから、 適当な自然数ｑによって、 ｎ＝９ｑ・・・・③ とおくことができる。 よって、 ＝ 　　　＝ 　　　＝ ②より ＝２７ｐ （１）よりは９の倍数であるが、２７の倍数でないから、 は３の倍数である。 の各位の数字の和はｑであるから、 ｑも３の倍数である。 よって、③からｎは２７の倍数である。

の部分の超解説その１！

逆に、が２７で割り切れると仮定すると、 適当な自然数ｐによって、 ＝２７ｐ・・・・② と表すことができる。

までは特に解説はいらないと思います。
２７で割り切れる＝２７の倍数
です。
そして、２７の倍数は２７×自然数です。
その自然数をｐとしただけです。
では、

しがたって、の各位の数字の和ｎは９の倍数であるから、 適当な自然数ｑによって、 ｎ＝９ｑ・・・・③ とおくことができる。

の部分はどうでしょうか。
ｎが２７の倍数ということは、ｎは当然９の倍数です。
ここでもの各位の数字の和がｎであるということを利用しています。
（１）も（２）もの各位の数字の和がｎが問題を解き重要な鍵となります。
ｎが９の倍数なら
　　ｎ＝９ｑ・・・・③
は当然です。

この後は、十分条件の証明と同様に有力なグループ分けは

と

が考えられます。
さて、どちらのグループ分けが正しいのでしょうか。
といっても解答はすでに示してしまっているので、

であることは明らかですが、どうして

だと上手くいかないのでしょうか。
考えてみて下さい。

（２）の解答その１ 超解説その３へ　（２）の解答その１ 超解説その５へ
　


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