第３問 2014年度東大数学理系第５問（数列）

第３問 2014年度東大数学理系第５問（数列）
rを０以上の整数とし、数列｛｝を次のように定める。
　　　＝ｒ，＝ｒ＋１，＝（＋１）　（ｎ＝１，２，３，・・・）
また、素数ｐを１つとり、をｐで割った余りをとする。ただし、０をｐで割った余りは０とする。
（１）自然数ｎに対して，は（＋１）をｐで割った余りと一致することを示せ。
（２）ｒ＝２，ｐ＝１７の場合に，１０以下のすべての自然数ｎに対して，を求めよ。
（３）ある２つの相異なる自然数ｎ，ｍに対して，
　　　＝＞０，＝
が成り立ったとする。このとき，＝が成り立つことを示せ。
（４），，，･･･にｐで割りきれる数が現れないとする。このとき，もｐで割り切れないことを示せ。