第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（２）の解答その１ 超解説その２（十分条件側の有力手その１）
今回はｎが２７で割り切れることがが２７で割り切れることの十分条件であること
の証明の超解説です。ですから、

（２）の解答 ｎが２７で割り切れると仮定すると、 適当な３の倍数でない整数ｐが存在して、 ｎ＝２７ｐ＝・・・・① が成り立つ。 このとき、 ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ （１）よりは＝２７で割り切れるからは２７で割り切れる。

の部分の超解説です。
２７はであることに気がつくことが肝要です。
そうです。
これに気がつけば、（１）の結果を使える可能性が
あるのではないかという考えが浮かびます。
（１）は（２）のヒント－－－セオリーです。
では実際にはどのようにして（１）を応用するのでしょうか。
展望が見えなくても、とりあえずはセオリーにしがたい
適当な自然数によって
　　ｎ＝２７ｐ＝・・・・①
とおいてみます。すると、は１が個並ぶことが分かります。
問題は個の１をどういうグループに分けるかです。
これは逆論証の必要条件の証明においても同じです。
グループの分け方としては、答案で採用した

と

の２つが考えられます。
どちらが正しいのかは、試行錯誤でしか確認できません。
もちろん、両方ともダメである場合もあります。
でも、有力な手は試してみるしかありません。
将棋のプロの棋士は、直観で３つぐらいの有望な手を考え、
後は読み（頭の中で駒を動かす）によって、最善手を選ぶそうです。
３つとも読みによって、いい手ではないと判断すれば、
また直観を使い有力手を探すしかないわけです。
数学も全く同じです。
直観で有力手を選び、論証する－－－ダメであれば有力手を選び直す－－－
これの繰り返しです。
さて、

というグループ分けの場合どうなるでしょうか。
を単位と考えたわけです。
はですね。

を次のように分解してみましょう。

するとすなわちは
＝
　　 ＝

は１が個並びますから、
各位の数字の和が２７で９の倍数であることはいえます。
各位の数字の和が２７の倍数であってもそのもとの整数が２７の倍数であるはいえませんでした。

の各位の数字の和はｐですが、

（２）の解答 ｎが２７で割り切れると仮定すると、 適当な３の倍数でない整数ｐが存在して、 ｎ＝２７ｐ＝・・・・①

で断ってあった通り、pは３の倍数ではありませんから、
は３の倍数ではありません。
すると、

というグループ分けだと、９の倍数までしかいえません。
２７の倍数であることをいわなければなりませんので、失敗です。

（２）の解答その１ 超解説その１へ　（２）の解答その１ 超解説その３へ
　


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