第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（２）の解答その１ 超解説その１（必要条件・十分条件・必要十分条件とは？）
さて、

（２）の解答 ｎが２７で割り切れると仮定すると、 適当な３の倍数でない整数ｐが存在して、 ｎ＝２７ｐ＝・・・・① が成り立つ。 このとき、 ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ （１）よりは＝２７で割り切れるからは２７で割り切れる。 逆に、が２７で割り切れると仮定すると、 適当な自然数ｐによって、 ＝２７ｐ・・・・② と表すことができる。 しがたって、の各位の数字の和ｎは９の倍数であるから、 適当な自然数ｑによって、 ｎ＝９ｑ・・・・③ とおくことができる。 よって、 ＝ 　　　＝ 　　　＝ ②より ＝２７ｐ （１）よりは９の倍数であるが、２７の倍数でないから、 は３の倍数である。 の各位の数字の和はｑであるから、 ｑも３の倍数である。 よって、③からｎは２７の倍数である。

を超解説しましょう。
この意味不明に思える答案も超解説を読めばすっきり分かるはずです。
ここでも細部の解説に入る前に、基礎事項を確認しましょう。
皆さん、必要十分条件って何ですか。
皆さんは、この言葉の意味を２重に理解できていますか。
２重とは論理的・形式的に理解すると同時に、
直観（直感）的に理解し内容をイメージするということです。
直観的に理解し内容をイメージするとは、
言葉を聞いた瞬間に、語感から分かるということです。
おそらく形式的には理解していても意味は十全には理解していない方が圧倒的ではないでしょうか。
形式は分かるが内容はイメージできない！
論理的には理解できるが直感的には分からない！
これでは数学を理解しているとはいえません。
真の理解とは、論理的理解・形式的理解･抽象的理解＋直観的理解・内容的理解・具体的理解でなければなりません。
ですが、残念ながら日本の高校生は数学が得意であったとしても、
その理解は抽象や形式の領域にとどまっていて、
直観のレベルに達していません。
物理学科の学生がイメージの伴わない数学操作をしているなら、
物理学科の教授からしかられます。
微分方程式を操作しているとき、
物理学者の頭脳には自然のイメージがありありと浮かびます。
経済学者が微分方程式を操作しているときにも、
経済的対象がありありと浮かびます。
本来は、数学も同じです。
数式をいじっているときありありと内容がイメージできなければならないのです。
ところがどうですか。
ほとんどの生徒は、数式を操作しているときイメージが全く働いていないのではないですか。
あなたが論理のレベルにとどまり、直観の領域に達していないなら、
それは真の理解ではありません。

さて、前置きはそれぐらいにして、
必要条件・十分条件の定義を確認しましょう。
ｐならｑであるが真であるとき、
ｐをｑであるための十分条件
ｑをｐであるための必要条件
といいます。

ｐと満たす集合をＰ、ｑを満たす集合をＱとしてペン図に表すと、

すなわち、ということになります。


なぜこの状態のときｐを十分条件、ｑを必要条件というのでしょうか。
理由は簡単です。
Ｑの中に入るには、Ｐに中に入れば十分です。
Ｐの中に入れば文句なしにＱの中に入ります。
Ｐに入っていれば、他の条件は一切いりません。
だから、Ｐに入ることは十分な条件なのです。
Ｐの中に入るためには、Ｑの中には入っている必要があります。
Ｑの外に出てしまえば絶対にＰの中には入れません。
ですが、Ｑの中に入っても十分ではありません。

はＱの中に入っていますが、
Ｐの中には入りません。
ですから、ｑは必要な条件ですが十分な条件ではありません。
他の条件が加えられなければなりません。

必要十分条件は
ｐならｑであるが真であると同時に、
ｑならｐであるが真であるとき、
ｐをｑであるための必要十分条件
ｑをｐであるための必要十分条件
といいます。
（集合のペン図にすると、

２つの円が同じ大きさになり重なります。）
ですから、
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
は
が２７で割り切れるならばｎは２７で割り切れる
ｎが２７で割り切れるならばは２７で割り切れる
の２つを示せば良いのです。

赤い囲いが前半
ｎが２７で割り切れるならばは２７で割り切れる
を示し、
青い囲いが後半
ｎが２７で割り切れるならばは２７で割り切れる
を示しています。


（２）の解答その１へ　（２）の解答その１ 超解説その２へ
　


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