第2問 2008年度 東大数学 理系 第5問
自然数nに対して、定義nで表す。たとえば1
23である。
(1) mを0以上の整数とする。3のm乗3のm乗で割り切れるが、
   3のm+1乗では割り切れないことを示せ。
(2) nが27で割り切れることが、
   nが27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

(1)の超解説その4(数学的帰納法の簡単な例題)

ⅰ n=6のとき命題が成り立つことを示す。
ⅱ n=kのとき命題が成り立つと仮定すると、n=k+2でも成り立つことを示す。

このときの結論は
『ⅰⅱより6以上のすべての
偶数について命題が成り立つ。』
となります。
例えば、

ⅰ n=5のとき命題が成り立つことを示す。
ⅱ n=kのとき命題が成り立つと仮定すると、n=k+2でも成り立つことを示す。

なら、
『ⅰⅱより5以上のすべての
奇数について命題が成り立つ。』
が結論ですね。
さらに、数学的帰納法には次のようなバージョンもあります。

ⅰ n=1,2のとき命題が成り立つことを示す。
ⅱ n=kとn=k+1のそれぞれについて命題が成り立つと仮定すると、n=k+2でも成り立つことを示す。
以上ⅰⅱより、すべての自然数について命題が成り立つ。


では、オーソドックス

ⅰ n=1のとき命題が成り立つことを示す。
ⅱ n=kのとき命題が成り立つと仮定すると、n=k+1でも成り立つことを示す。
以上ⅰⅱから、すべての自然数について命題が成り立つと宣言する。
 

を応用する簡単な例題を見てみましょう。
A
が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
[証明]
ⅰ n=1のとき、
  左辺=1
  右辺=1/2×1×(1+1)=1
  ゆえに、①は成り立つ。
ⅱ n=kのとき①が成り立つと仮定すると
 B
  n=k+1の場合を考えると、
  左辺=C
     =D
     =E
     =F
     =G
     =K
   したがって、①はn=k+1の場合にも成り立つ。
以上ⅰⅱより、すべての自然数nについて①が成り立つ。

では、次の問題をやってみましょう。
L
が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。



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