第2問 2008年度 東大数学 理系 第5問
自然数nに対して、定義nで表す。たとえば1
23である。
(1) mを0以上の整数とする。3のm乗3のm乗で割り切れるが、
   3のm+1乗では割り切れないことを示せ。
(2) nが27で割り切れることが、
   nが27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

(1)の超解説その5(数学的帰納法を使う問題の答え))

L
が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
[証明]
証明すべき等式を(*)とする。
ⅰ n=1のとき
  左辺=A=1
  右辺=1/6×1×(1+1)×(2×1+1)
=1
  ゆえに、(*)は成り立つ。
ⅱ n=kのとき(*)が成り立つと仮定すると、
 B 
 n=k+1の場合を考えると、
P
O
R
U
Y                                              T
  ゆえに、(*)はn=k+1の場合にも成り立つ。

 以上ⅰⅱから、(*)はすべての自然数nについて成り立つ。

それでは、次回はいよいよ

(1)の命題を(*)とし、(*)が成り立つことを数学的帰納法で示す。
ⅰ m=0のとき、
   3のm乗3の0乗1=1
   3のm乗1=1
   3のm+1乗3の1乗=3
  したがって、3のm乗3のm乗で割り切れが、3のm+1乗では割り切れないから
  (*)は成り立つ。
ⅱ m=k(≧0)とき(*)が成り立つと仮定すると、
  3のk乗3のk乗で割り切れるが、3のk+1乗では割り切れないから、
  3で割り切れない適当な整数pが存在して、
  3のk乗=p3のk乗
  m=k+1の場合を考える。
  3のk+1乗3かける3のk乗
        =A
        =B
        =C
  ここで、Dの各位の数字の和は3なので、
  Dは3の倍数であるが、9の倍数ではない。
  よって、3で割り切れない整数qによって
  D=3q
  とおける。このとき
  3のk+1乗=3q・p3のk乗=pq3のk+1乗
  p,qは3の倍数でないので、適当な整数a,bによって、
  p=3a±1,q=3b±1
  と表せる。4つの組み合わせ
  pq=3(3ab+a+b)+1,3(3ab-a+b)-1,3(3ab+a-b)-1,3(3ab-a-b)+1
  はいずれも3の倍数ではない。
  したがって、3のk+1乗3のk+1乗で割り切れるが、3のk+2乗では割り切れないから、
  (*)はm=k+1の場合も成り立つ。


 以上ⅰⅱより、0以上のすべての整数について(*)が成り立つことが証明された。
 

の細部を超解説することにしましょう。
次回の超解説を読めば、東大入試問題は遠い世界の話ではなく、
手順を追っていけば誰でも理解でしますし、
高校数学を学ぶのに最も適した教材であるということが理解できると思います。

(1)の解答超解説その4へ (1)の解答超解説その6へ
 
必勝法

数独 フリーソフト 数独自動生成無料アプリ 難問 作成 プログラム

魔方陣 数独で学ぶ 初心者のための VBA 入門 基礎から応用まで
数独 ナンプレ 難問 シンプルな解き方・簡単な解法・わかりやすい攻略法の研究

VB講義へ
VB講義基礎へ
vc++講義へ第1部へ
初心者のための世界で一番わかりやすいVisual C++入門基礎講座
初心者のための世界で一番わかりやすいVisual Basic入門基礎講座
初心者のための VC++による C言語 入門 C++ 入門 基礎から応用まで第1部
初心者のための VC++による C言語 入門 C++ 入門 基礎から応用まで第2部
初心者のための VC++による C言語 入門 C++ 入門 基礎から応用まで第3部
初心者のためのEclipseによるJava入門 基礎から応用まで
初心者のためのJava入門サイト 基礎から応用まで

本サイトトップへ