第２問（１）超解説その５（数学的帰納法を使う問題の答え)）

第２問 2008年度東大数学理系第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１）ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２）ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（１）の超解説その５（数学的帰納法を使う問題の答え)）

が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
［証明］
証明すべき等式を（＊）とする。
ⅰ ｎ＝１のとき
　　左辺＝＝１
　　右辺＝１／６×１×(１＋１)×(２×１＋１)＝１
　　ゆえに、(＊)は成り立つ。
ⅱ　ｎ＝ｋのとき(＊)が成り立つと仮定すると、
　　
　ｎ＝ｋ＋１の場合を考えると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　ゆえに、(＊)はｎ＝ｋ＋１の場合にも成り立つ。

　以上ⅰⅱから、(＊)はすべての自然数ｎについて成り立つ。

それでは、次回はいよいよ

（１）の命題を（＊）とし、（＊）が成り立つことを数学的帰納法で示す。
ⅰ　ｍ＝０のとき、
　　　＝＝＝１
　　　＝＝１
　　　＝＝３
　　したがって、はで割り切れが、では割り切れないから
　　(＊)は成り立つ。
ⅱ　ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、
　　はで割り切れるが、では割り切れないから、
　　３で割り切れない適当な整数ｐが存在して、
　　＝ｐ
　　ｍ＝ｋ＋１の場合を考える。
　　＝
　　　　　　　　＝
　　　　　　　　＝
　　　　　　　　＝
　　ここで、の各位の数字の和は３なので、
　　は３の倍数であるが、９の倍数ではない。
　　よって、３で割り切れない整数ｑによって
　　＝３ｑ
　　とおける。このとき
　　＝３ｑ・ｐ＝ｐｑ
　　ｐ，ｑは３の倍数でないので、適当な整数ａ，ｂによって、
　　ｐ＝３ａ±１，ｑ＝３ｂ±１
　　と表せる。４つの組み合わせ
　　ｐｑ＝３（３ａｂ＋ａ＋ｂ）＋１，３（３ａｂ－ａ＋ｂ）－１，３（３ａｂ＋ａ－ｂ）－１，３（３ａｂ－ａ－ｂ）＋１
　　はいずれも３の倍数ではない。
　　したがって、はで割り切れるが、では割り切れないから、
　　(＊)はｍ＝ｋ＋１の場合も成り立つ。

　以上ⅰⅱより、０以上のすべての整数について(＊)が成り立つことが証明された。