第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（１）の超解説その６（（１）の解答の肝その１）

（１）の命題を（＊）とし、（＊）が成り立つことを数学的帰納法で示す。 ⅰ　ｍ＝０のとき、 　　　＝＝＝１ 　　　＝＝１ 　　　＝＝３ 　　したがって、はで割り切れが、では割り切れないから 　　(＊)は成り立つ。 ⅱ　ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、 　　はで割り切れるが、では割り切れないから、 　　３で割り切れない適当な整数ｐが存在して、 　　＝ｐ 　　ｍ＝ｋ＋１の場合を考える。 　　＝ 　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　＝ 　　ここで、の各位の数字の和は３なので、 　　は３の倍数であるが、９の倍数ではない。 　　よって、３で割り切れない整数ｑによって 　　＝３ｑ 　　とおける。このとき 　　＝３ｑ・ｐ＝ｐｑ 　　ｐ，ｑは３の倍数でないので、適当な整数ａ，ｂによって、 　　ｐ＝３ａ±１，ｑ＝３ｂ±１ 　　と表せる。４つの組み合わせ 　　ｐｑ＝３（３ａｂ＋ａ＋ｂ）＋１，３（３ａｂ－ａ＋ｂ）－１，３（３ａｂ＋ａ－ｂ）－１，３（３ａｂ－ａ－ｂ）＋１ 　　はいずれも３の倍数ではない。 　　したがって、はで割り切れるが、では割り切れないから、 　　(＊)はｍ＝ｋ＋１の場合も成り立つ。 　以上ⅰⅱより、０以上のすべての整数について(＊)が成り立つことが証明された。

を超解説する。
まず、
ⅰ　ｍ＝０のとき、
　　　＝＝＝１
　　　＝＝１
　　　＝＝３
　　したがって、はで割り切れが、では割り切れないから
　　(＊)は成り立つ。
の部分は特に解説は必要ないでしょう。
１は１では割り切れますが、３では割り切れないのは当然です。
ⅱについては？？？？？になっている方が大勢いらっしゃると思いますので詳しく説明しましょう。

ⅱ　ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、
　　はで割り切れるが、では割り切れないから、
　　３で割り切れない適当な整数ｐが存在して、
　　＝ｐ

１行目
　　はで割り切れるが、では割り切れない

は
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れない
のｍにｋを代入しただけです。
２，３行目
　　３で割り切れない適当な整数ｐが存在して、
　　＝ｐ
は整数問題のセオリー（定跡、定石、よく使う考え方）ですから、
受験生の皆さんは是非頭に入れて欲しいと思います。
例えば、５の倍数なら５×整数の形をしています。
その整数をｎとおけば５ｎですし、ｐとおけば５ｐです。
今はの倍数ですからｐ＝ｐとうわけです。
表記はｐでもｐのどちらでもよいのです。
次の
　　ｍ＝ｋ＋１の場合を考える。
　　＝
　　　　　　　　＝
　　　　　　　　＝
　　　　　　　　＝
がこの解答の肝です。
の意味は１がｎ個並ぶという意味でした。
ですから、＝なら１が個並びます。
はが３つという意味です。ですから、

です。
さて、

の意味がわかりますか。ここの表記は

とした方がわかりやすかったかも知れません。
でも表記し直しても？？？ですよね。

は分解すると

となります。

は０の個数が個あります。ですから、

はですね。
同様に、

には、０が個あります。ですからです。
最後の

は１が個並ぶわけですから、です。
３つを合体すると

すなわち

というわけです。

（１）の解答超解説その５へ　（１）の解答超解説その７へ
　

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