第２問 2008年度 東大数学 理系 第５問
自然数ｎに対して、をで表す。たとえば，
，である。
（１） ｍを0以上の整数とする。はで割り切れるが、
　　　では割り切れないことを示せ。
（２） ｎが２７で割り切れることが、
　　　が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

（１）の超解説その７（（１）の解答の肝その２）
その６では、

（１）の命題を（＊）とし、（＊）が成り立つことを数学的帰納法で示す。 ⅰ　ｍ＝０のとき、 　　　＝＝＝１ 　　　＝＝１ 　　　＝＝３ 　　したがって、はで割り切れが、では割り切れないから 　　(＊)は成り立つ。 ⅱ　ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、 　　はで割り切れるが、では割り切れないから、 　　３で割り切れない適当な整数ｐが存在して、 　　＝ｐ 　　ｍ＝ｋ＋１の場合を考える。 　　＝ 　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　＝

まで超解説しました。その７では

＝ 　　ここで、の各位の数字の和は３なので、 　　は３の倍数であるが、９の倍数ではない。 　　よって、３で割り切れない整数ｑによって 　　＝３ｑ 　　とおける。このとき 　　＝３ｑ・ｐ＝ｐｑ 　　ｐ，ｑは３の倍数でないので、適当な整数ａ，ｂによって、 　　ｐ＝３ａ±１，ｑ＝３ｂ±１ 　　と表せる。４つの組み合わせ 　　ｐｑ＝３（３ａｂ＋ａ＋ｂ）＋１，３（３ａｂ－ａ＋ｂ）－１，３（３ａｂ＋ａ－ｂ）－１，３（３ａｂ－ａ－ｂ）＋１ 　　はいずれも３の倍数ではない。 　　したがって、はで割り切れるが、では割り切れないから、 　　(＊)はｍ＝ｋ＋１の場合も成り立つ。 　以上ⅰⅱより、０以上のすべての整数について(＊)が成り立つことが証明された。

の部分を超解説します。
まず、
　　　　　　　　＝
は
　　　　　　　　＝
のを共通因数として括弧にくくっただけです。
　　ここで、の各位の数字の和は３なので、

これどうしてですか。
は

すなわち、

です。
ですから、１＋０＋０＋０＋・・・＋０＋０＋１＋０＋０＋０＋・・・＋０＋０＋１から、
各位の数字の和は３という訳です。
難解に見えても具体化すると、数学の苦手な方でもわかりやすいのではないですか。
だとなんだか分からなくても、

なら各位の数字の和が３であることは自明です。
私が、『右脳数学と魔方陣』というサイトを立ち上げた最大の理由は、
現在の数学教育は抽象一辺倒になっていて、具体的なものがイメージできないようになっているということです。
抽象一辺倒は、論理一辺倒・形式一辺倒・左脳一辺倒と言い換えてもいいものです。
抽象・論理・形式・左脳の反対語はそれぞれ具体・直観(イメージ)・内容・右脳です。
現代の数学教育は、左脳一辺倒になり具体・直観(イメージ)・内容が抜け落ちてしまっているのです。
ヘーゲルはいっています。
『常に普遍的なものは個別的であり、個別的なものは普遍的である。』
普遍的なものすなわち抽象的なものは具体的なものを包摂しています。
抽象を見るとき、そこに具体が見えないなら、
本当の数学学習ではありません。
その逆、具体の中に抽象的なもの＝一般的なものが見えないなら、
真の数学学習ではありません。
正しい数学学習は、具体と抽象の世界を常に行ったり来たりすることです。
具体と抽象は、数学というより学問一般の車の両輪です。
ところが、現代の数学教育は抽象一辺倒の片輪走行＝片肺走行になってしまっています。
生徒には、抽象的なもの以外何も見えなくなってしまっています。
抽象に具体を見、具体に抽象を見るが正しい数学学習、学問学習なのです。
この講義が超解説を採用する所以です。
話を元に戻しましょう。
の各位の数字の和は、
３です。ですから、これは３の倍数ですが９の倍数ではありません。
３の倍数は各位の数字の和が３の倍数であり、
９の倍数は各位の数字の和が９の倍数でしたね。
が３の倍数で９の倍数ではないので、
３の倍数でない自然数ｑによって、は
　　＝３ｑ
を表せるわけです。ｑをわざわざ３の倍数でないと断っている理由は、
もし３の倍数であるとすると 　　
が９の倍数でなくなってしまうからです。
さて、
　　＝３ｑ
と
　　＝ｐ
とから
　　＝３ｑ・ｐ＝ｐｑ
となります。ｐも３の倍数でないと断ってありましたね。
ここでｐｑが３の倍数でなければ、
はの倍数ですが、の倍数でないことが分かります。
もし、ｐｑが３の倍数であるとするともうひとつ３が増えてしまい、
はの倍数ということになってしまいます。
　　ｐ，ｑは３の倍数でないので、適当な整数ａ，ｂによって、
　　ｐ＝３ａ±１，ｑ＝３ｂ±１
　　と表せる。４つの組み合わせ
　　ｐｑ＝３（３ａｂ＋ａ＋ｂ）＋１，３（３ａｂ－ａ＋ｂ）－１，３（３ａｂ＋ａ－ｂ）－１，３（３ａｂ－ａ－ｂ）＋１
　　はいずれも３の倍数ではない。
のところは、３の倍数でないもの同士をかけるとやはり３の倍数でないことを証明しています。
したがいまして、はでは割り切れますが、では割り切れないことになり、
(＊)はｍ＝ｋ＋１でも成り立つことになります。
以上で数学的帰納法の要件が満たされ命題(＊)が示されたわけです。


（１）の解答超解説その６へ　（２）の解答へ
　

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