自然数ｎに対して、
を
で表す。たとえば
，
，
である。（１） ｍを0以上の整数とする。
は
で割り切れるが、
では割り切れないことを示せ。（２） ｎが２７で割り切れることが、
が２７で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。（１）の解答
（１）の命題を（＊）とし、（＊）が成り立つことを数学的帰納法で示す。
ⅰ ｍ＝０のとき、
＝
＝
＝１＝
＝１
＝
＝３したがって、
はで割り切れが、では割り切れないから(＊)は成り立つ。
ⅱ ｍ＝ｋ(≧０)とき(＊)が成り立つと仮定すると、
は
で割り切れるが、
では割り切れないから、３で割り切れない適当な整数ｐが存在して、
＝ｐｍ＝ｋ＋１の場合を考える。
＝
＝
＝
＝
ここで、
の各位の数字の和は３なので、は３の倍数であるが、９の倍数ではない。よって、３で割り切れない整数ｑによって
＝３ｑとおける。このとき
＝３ｑ・ｐ＝ｐｑｐ，ｑは３の倍数でないので、適当な整数ａ，ｂによって、
ｐ＝３ａ±１，ｑ＝３ｂ±１
と表せる。４つの組み合わせ
ｐｑ＝３（３ａｂ＋ａ＋ｂ）＋１，３（３ａｂ－ａ＋ｂ）－１，３（３ａｂ＋ａ－ｂ）－１，３（３ａｂ－ａ－ｂ）＋１
はいずれも３の倍数ではない。
したがって、
はで割り切れるが、
では割り切れないから、(＊)はｍ＝ｋ＋１の場合も成り立つ。
以上ⅰⅱより、０以上のすべての整数について(＊)が成り立つことが証明された。
（１）の解法その１超解説その１へ
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