第2問 2008年度 東大数学 理系 第5問
自然数nに対して、定義nで表す。たとえば1
23である。
(1) mを0以上の整数とする。3のm乗3のm乗で割り切れるが、
   3のm+1乗では割り切れないことを示せ。
(2) nが27で割り切れることが、
   nが27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

(1)の解答
(1)の命題を(*)とし、(*)が成り立つことを数学的帰納法で示す。
ⅰ m=0のとき、
   3のm乗3の0乗1=1
   3のm乗1=1
   3のm+1乗3の1乗=3
  したがって、3のm乗3のm乗で割り切れが、3のm+1乗では割り切れないから
  (*)は成り立つ。
ⅱ m=k(≧0)とき(*)が成り立つと仮定すると、
  3のk乗3のk乗で割り切れるが、3のk+1乗では割り切れないから、
  3で割り切れない適当な整数pが存在して、
  3のk乗=p3のk乗
  m=k+1の場合を考える。
  3のk+1乗3かける3のk乗
        =A
        =B
        =C
  ここで、Dの各位の数字の和は3なので、
  Dは3の倍数であるが、9の倍数ではない。
  よって、3で割り切れない整数qによって
  D=3q
  とおける。このとき
  3のk+1乗=3q・p3のk乗=pq3のk+1乗
  p,qは3の倍数でないので、適当な整数a,bによって、
  p=3a±1,q=3b±1
  と表せる。4つの組み合わせ
  pq=3(3ab+a+b)+1,3(3ab-a+b)-1,3(3ab+a-b)-1,3(3ab-a-b)+1
  はいずれも3の倍数ではない。
  したがって、3のk+1乗3のk+1乗で割り切れるが、3のk+2乗では割り切れないから、
  (*)はm=k+1の場合も成り立つ。

 以上ⅰⅱより、0以上のすべての整数について(*)が成り立つことが証明された。

(1)の解法その1超解説その1へ
 
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