第１問数Ⅰ三角比による解法その７＝美しい解法

第１問 2011年度東大数学理系第1問(2)
（2012年３月10日全国紙ベネッセ１面広告問題
ベネッセによる１部加筆あり）

座標平面において、点P(０，１)を中心とする半径１の円をCとする。
ａを０＜ａ＜１を満たす実数とし、
直線ｙ＝ａ（ｘ＋１）とＣとの交点をＱ、Ｒとする。
ａが０＜ａ＜１の範囲を動くとき、△ＰＱＲの面積Ｓ(ａ)が最大となるａを求めよ。

解法その７（数Ⅰの三角比による解法＝美しい解法）

∠QPR=θとおくと、Ｓ(ａ)＝1/2×１×１×ｓｉｎθ＝1/2ｓｉｎθ
よって、Ｓ(ａ)が最大になるのはθ=90°のときで、
点Ｐから直線ＲＱに垂線を下ろしその足をＨとすれば、ＰＨ＝
一方、ｙ＝ａ（ｘ＋１）からａｘ－ｙ＋ａ＝０であるから点Ｐと直線ｙ＝ａ（ｘ＋１）の距離は
方程式を０＜ａ＜１の範囲で解いて、ａ＝

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