第１問数Ⅲ微分による解法その１

第１問 2011年度東大数学理系第1問(2)
（2012年３月10日全国紙ベネッセ１面広告問題
ベネッセによる１部加筆あり）

座標平面において、点P(０，１)を中心とする半径１の円をCとする。
ａを０＜ａ＜１を満たす実数とし、
直線ｙ＝ａ（ｘ＋１）とＣとの交点をＱ、Ｒとする。
ａが０＜ａ＜１の範囲を動くとき、△ＰＱＲの面積Ｓ(ａ)が最大となるａを求めよ。

解法その１（数Ⅲの「微分」による解法その１）

②を①に代入して整理すると、

Qのx座標をα、Pのｘ座標をβとすると、解と係数の関係から、

（α＋β）の2乗－４αβを計算して、

β－α＞０より

より

一方、ｙ＝ａ（ｘ＋１）からａｘ－ｙ＋ａ＝０であるから、点Ｐと直線ＲＱの距離は、

したがって、

この両辺をａで微分すると、

ｓ’（ａ）＝０とおいて、両辺にをかけると、

因数定理を利用して因数分解して、

ゆえに、3次方程式の解は
増減表は