余弦定理における自然数解について

 

　余弦定理において、ｃｏｓＣが無理数であるならば、自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことは自明である。なぜなら、（ｘ、ｙ、ｚ）が自然数であると仮定すると、

　　　　

の式から、左辺は無理数で右辺は有理数となって矛盾してしまうからである。

　ではｃｏｓＣが有理数で、−１＜ｃｏｓＣ＜１を満たすとき、自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）は存在するであろうか。この論文ではこの問題について考えてみたい。

 

　なお、自然数解が存在するということと、正の有理数解が存在するというのは同値である。なぜなら、有理数解（ｘ、ｙ、ｚ）が存在する場合ｘ、ｙ、ｚの分母の公倍数をかければ自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）にすることができるからである。

　しかし、ｃｏｓＣが有理数であれば、ｘ、ｙ、ｚは必ず有理数であるというわけではない。などいくらでも反例を作ることができるからである。

 

　手がかりを得るために、具体的な数値で考えてみることにしよう。Ｃ＝６０°、９０°、１２０°の場合、すなわちｃｏｓＣ＝ｔとおけばの場合について考えてみよう。（言うまでもないことであるが、Ｃ＝９０°の場合はピタゴラス数になる。）次にそれをヒントに一般的な場合を考えてみよう。

 

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１．   ｔ＝１／２の場合

２．   ｔ＝０の場合

３．   ｔ＝−１／２の場合

４．   ｔ≠１／２，ｔ≠０，−１＜ｔ＜１の場合