４．ｔ≠１／２，ｔ≠０，－１＜ｔ＜１の場合
ここで，
ｘ＝ｚ－α，ｙ＝ｚ－βとおくと，
これを展開してｚについて整理すると，
よって，ｔ≠１／２ならば
Ａ
このような複雑な式からルートが消え，しかも約分によって分母も消えてしまうものなのだろうか？
ｔ＝－１／２の場合を手がかかりにしてみよう。
ｔ＝－１／２とおくと，
Ｂ
Ⅱ分母α＋βが約分によって消えるようにしてやる方法では任意の整数ｐに対して，
であった。このとき，
これを式Ｂに代入すると，
魔法のようにルートがはずれ，しかも一方の場合は分母まで消えている！！！
どうやらポイントは，βをαの２次式に置くことにあるようである。
において，
とおいてみよう。さらに，ルートの中をＤとおくと，
ここで，
＝０
とおくと，
であり，
ここで，
とおくと，
であり，式Ｃが完全平方になるための条件は，
すなわち，
より，
すなわち，
このとき，
したがって，
よって，一方は
ここで，
を代入すると，
ｘ＝ｚ－α，ｙ＝ｚ－βより
ゆえに，ｔ＞０のときは十分小さいαに対して，ｔ＜０のときは十分大きいαに対して，ｚ＞０，ｘ＞０，ｙ＞０を満たし，最大辺はｚまたはｘである。しかも，
｜ｚ－ｘ｜＝｜α｜＜ｙ
したがって，ｘ，ｙ，ｚは三角条件を満たす。
以上より，正の有理数解（ｘ，ｙ，ｚ）は無限に存在する。すなわち，自然数解（ｘ，ｙ，ｚ）が無限に存在する。
ｔ＝１／３，－３／７についていくつかの解を示してみよう。
ｔ＝１／３のとき
ｐ＝１の場合
ⅰ α＝２とすると
ｚ＝６，ｘ＝４，ｙ＝６
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，３，３）
ⅱ α＝１とすると
ｚ＝１１，ｘ＝１０，ｙ＝９
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１０，９，１１）
ⅲ α＝０とすると，
ｚ＝１８，ｘ＝１８，ｙ＝１２
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，２，３）
ⅳ α＝－１とすると，
ｚ＝２７，ｘ＝２８，ｙ＝１５
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２８，１５，２７）
ⅴ α＝－２とすると，
ｚ＝３８，ｘ＝４０，ｙ＝１８
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２０，９，１９）
ⅵ α＝－３とすると，
ｚ＝５１，ｘ＝５４，ｙ＝２１
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１８，７，１７）
ｐ＝２のとき
ⅰ α＝１とすると，
ｚ＝３，ｘ＝２，ｙ＝３
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，３，３）
ⅱ α＝０とすると，
ｚ＝９，ｘ＝９，ｙ＝６
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，２，３）
ⅲ α＝－１とすると，
ｚ＝１９，ｘ＝２０，ｙ＝９
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２０，９，１９）
ⅳ α＝－２とすると，
ｚ＝３３，ｘ＝３５，ｙ＝１２
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３５，１２，３３）
ⅴ α＝－３とすると，
ｚ＝５１，ｘ＝５４，ｙ＝１５
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１８，５，１７）
ⅵ α＝－４とすると，
ｚ＝７３，ｘ＝１８，ｙ＝７３
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（７７，２９，７３）
①②は重複があるが，明らかに違う無限系列を作り出している。ｐの値によって無限系列が異なるので，無限系列は無限種類存在することになる。
ｔ＝－３／７のとき
ｐ＝１とする。
すべての両辺に８１をかけて，改めてｚ，ｘ，ｙとおくと，
ⅰ α＝４とすると，
ｚ＝３４６，ｘ＝２２，ｙ＝３３６
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１１，１６８，１７３）
ⅱ α＝５とすると，
ｚ＝７１５，ｘ＝３１０，ｙ＝５２５
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（６２，１０５，１４３）
ⅲ α＝６とすると，
ｚ＝１２４６，ｘ＝７６０，ｙ＝７１４
よって，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３８０，３５７，６２３）
