魔方陣Ｐ４

４．奇数方陣

　奇数方陣はずらし法によって作ることができる。ただし、１個目の表においては、１行目の順列の先頭に真ん中の数字を入れ、２個目の表においては１行目順列の最後に真ん中の数字を入れ、１個目の表は１ずらし、２個目の表は逆１ずらしにする。

5	1	2	3	4	6	7	8	9
9	5	1	2	3	4	6	7	8
8	9	5	1	2	3	4	6	7
7	8	9	5	1	2	3	4	6
6	7	8	9	5	1	2	3	4
4	6	7	8	9	5	1	2	3
3	4	6	7	8	9	5	1	2
2	3	4	6	7	8	9	5	1
1	2	3	4	6	7	8	9	5

1	2	3	4	6	7	8	9	5
2	3	4	6	7	8	9	5	1
3	4	6	7	8	9	5	1	2
4	6	7	8	9	5	1	2	3
6	7	8	9	5	1	2	3	4
7	8	9	5	1	2	3	4	6
8	9	5	1	2	3	4	6	7
9	5	1	2	3	4	6	7	8
5	1	2	3	4	6	7	8	9

１個目の表においては先頭を５にして１ずらし、２個目の表においては最後を５にして逆１ずらしにすると、５の対角線と５の対角線の和が縦横の和と同じ４５になるのである。偶数方陣では、１ずらし及び逆１ずらしでは、赤と青の対角線のところが縦横の和と同じにならなかった。そのために不完全魔方陣であったのだが、奇数の場合は真ん中の数字があるため先頭ないしは最後におけば、合計を縦横と同じにすることができるため、完全魔方陣にすることができるのである。しかし、例えば２の斜め行をみていただければわかるとおり５以外の斜め行は合計は４５にはならない。したがって、素数のときのように超完全魔方陣にはならない。

5	10	20	30	49	60	70	80	45
18	23	28	47	57	67	78	43	8
26	36	50	55	65	75	40	6	16
34	53	63	68	73	38	3	13	24
51	61	71	81	41	1	11	21	31
58	69	79	44	9	14	19	29	48
66	76	42	7	17	27	32	46	56
74	39	4	15	25	35	54	59	64
37	2	12	22	33	52	62	72	77

　ずらし法による奇数方陣数は、

(ｎ－１)！×(ｎ－１)！×１×２÷８

の計算で求められる。９方陣の場合は、

　 ８！×８！×１×２÷８＝406425600通り

存在することになる。約４億個存在することになる。

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