３．素数方陣（超完全魔方陣）
ここから文体をである体に変更する。こちらのほうが性に合うのでお許しいただきたい。
はじめにで断っておいたこともう一度断りたい。ここの方陣は素数による方陣ではない。ｎ方陣においてｎが素数のとき、私は素数方陣と呼んでいるのである。
意外なことに、素数方陣が一番簡単に作成できる。しかもこれから述べる方法で、より制約の強い超完全魔方陣となるのである。ここでいう完全魔方陣とは、普通の魔方陣のことである。普通の魔方陣なのに、わざわざ完全という言葉を入れるのは、後に不完全魔方陣（ないしは准魔方陣）という概念を導入するので、完全という言葉を入れているのである。超という概念は、具体例を作ってから説明したい。
素数方陣はずらし方という方法で作成することができる。５方陣を例にとって説明したい。まず１行目に１２３４５の任意の順列（ここでは順列として１２３４５を例にする）を作る。そしてその順列を右に２つずらすのである。
２つ右にずらすという意味は１に注目していただければ分かると思う。１は順に２つずつ右にずれている。
次に同様に１行目に任意の順列（ここでも１２３４５を例とする。）を作り、今度は３つ右にずらす。
ⅠⅡを合成すると次の魔方陣が完成する。下の例はⅡを商、Ⅰを余りとしている。縦横と対角線のところの和がすべて６５になっていることを確認していただきたい。
超という概念の説明にはいる前に、重要な注意事項を述べておきたい。１番目の表で２つずらした場合には、２番目の表では３つずらしでなければないということである。違うずらし方をしないと、２つの表は独立ではなくなってしまうからである。この例においては、独立でないどころかまったく同一の表になってしまう。１行目の順列が同じであるためである。１行目の順列を変えたとしても、独立でなくなることは容易にわかると思う。 また、１ずらしおよび４ずらし（逆１ずらし）ではいけない。
１と５のところの合計が他の合計と違ってしまうのである。合計は１８でなければならないのに、それぞれ５と２５になってしまうのである。したがって、合成しても対角線のところの和は６５にはならないのである。下の表で確認してほしい。
しかし、縦横については合計はすべて６５になっている。しかも、２つの表はずらし方が違うため、独立となっていて、１から２５間での数字が１つずつ入っているのである。そこでこの魔方陣を不完全魔方陣ないしは准魔方陣と呼ぶことにする。
さて、いよいよ超という概念の説明に入ろう。
先ほど完成させた５方陣をみてほしい。対角線の合計が６５になっているだけではなく、青や赤の斜め行のところも合計が６５になっているのである。その他のすべての斜め行の合計が６５になっている。つまり対角線を含めたすべての斜め行の和が同じ６５になっているのである。私は、この状態のとき超完全魔方陣と呼ぶのである。この超完全魔方陣の方がきわめて自然であるといえると思う。なぜなら対角線のところの斜め行だけが、特権的な位置を占める道理はないからである。(しかし、私が研究した範囲内では、超完全魔方陣は素数方陣のときのみ可能で、素数以外の奇数の方陣や偶数方陣では不可能である。ずらし法では不可能であることは簡単に証明できる。)（）の部分は誤りである。偶数方陣でも超完全魔方陣は可能である。しかもずらし法で作れることがわかった。魔方陣講義第１０回、１１回参照。ただし、魔方陣講義では一般の用語法に従って、ここで述べている超完全魔方陣を完全魔方陣としている。２００４年８月３日訂正
さて、ずらし法によって超完全魔方陣がどれだけ作れるか考えてみよう。
表Ⅰの１行目の順列は、５！で１２０通りである。表２の順列同様に１２０通りある。ずらし方の組み合わせは２と３の１通りであるから
１２０×１２０×１×２＝２８８００通りである。最後の×２はＡ，Ｂの対称性から生じる。しかし、この中には合同なもの（対称移動や回転移動などによって重なるもの）が１種類について８個含まれているので、実際の種類数は、
２８８００÷８＝３６００通り
一般的にはｎ！×ｎ！×（ずらし方の組み合わせ）×２÷８の計算になる。だから７方陣では、
７！×７！×（４×３÷２）×２÷８＝381022400通り
存在することになる。（４×３÷２）の計算は７方陣の場合ずらし方が２，３，４，５あるからである。組み合わせは４つから２つ組み合わせる場合の数で、４Ｃ２ということになる。７方陣して約４億個の超完全魔方陣が存在することになる
。１１方陣になると、約１兆４千億個あることになる。
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