２．一般的理論
何の方針もなく魔方陣を作成しようとしたら、とても歯が立ちません。例えば、アットランダムに数字を入れていって、偶然に縦横斜めの合計が一致するようなプログラムを作ったとすれば、４方陣の段階で最新のペンティアムⅢマシンを１０日間走らせても魔方陣は１つも見つからないでしょう。
さらに、１０方陣ぐらいになるとスーパーコンピュータを数千年使用しても１個も作成できないでしょう。数字が１つ増えるだけで問題の難度は飛躍的に難しくなるからです。そこで問題を単純化することが必要となります。
問題を単純化するため、魔方陣の升なかに入れる数字を２つの要素に分解します。ｎ方陣場合、数字をｎで割った商と余り（正確に言うとあまりに１加えた数字。）に分解します。そして、２つの升目（１辺がｎの升目）を用意してそれぞれの升に商と余りを入れていって、縦横斜めの合計が同じになるようにしてやって、２つのものを合成してやればｎ方陣が完成します。
４方陣を例に具体的に説明しましょう。４方陣は１から１６までの数字を入れて作るのですが、説明のため０から１５まで入れることにしましょう（通常の魔方陣にするには、すべてに１を加えるだけでできます。）。例えば、１３という数字は
１３＝４×３＋１
ですから商３と余り１に分解できます。合成した数字の縦横斜め合計を一致させようとすると大変困難ですが、２つの要素（商と余り）に分解してそれぞれの要素の縦横斜め合計を同じくするとすれば問題は著しく簡単になります。例えば、下表のようにすれば縦横斜め合計は一致します。
商 余り
そして商に４を掛けそれに右側の同位置の升目の余りを加えます。赤い数字を例に取ると、
４×３＋２＝１４
となります。このようにして合成した表が下のものとなります。
縦横斜めの合計はすべて、３０になっています。さらにすべての升に１加えると、
となり通常の方陣になります。縦横斜めの合計がすべて３４になっていることを確認してください。４方陣以外の魔方陣についても同様な考え方できます。
実際の作業やプログラムでは、商と余りに１ずつを加えた以下ような表を使います。
Ａ Ｂ
そして次のように合成すればⅠの表が完成します。
４×（４－１）＋３＝１５ Ⅱ
したがって、実際の作業は１から４までの数字を２つの正方形にそれぞれ４つずつ入れて合計が同じになるようにします（なお表Ａと表Ｂ対称な関係にあって、Ａを商・Ｂを余りとみても、逆にＡを余り・Ｂを商とみてもよいのです。これからの説明ではＡを余り、Ｂを商とみることが多いと思いますが、逆にみることができるということに注意してください。Ａを商・Ｂを余りとみる場合と、Ａを余り・Ｂを商とみる場合では、作成される魔方陣は別のものになります。Ａ・Ｂの対称性からＡ・Ｂを区別せず、魔方陣種（まほうじんしゅ）または魔方陣の種（たね）と名付けることにします。）。
さらに重要な注意事項があります。Ⅱの式で合成するわけですが、４方陣はそれぞれの升に１から１６までの数字が１つずつ入る必要があります。４方陣の中に同じ数字が入っていてはいけないのです。これは表Ａをｘ座標、表Ｂをｙ座標としたときに組み合わせ（４，３）は唯一つでなければいけないということを意味しています。Ａ、Ｂの表の赤以外の組み合わせ（４，３）が存在してはいけないということです。１つでも存在すれば、同じ１５ができてしまい、１から１６までの各数字が１つずつであるという要求を満たさなくなってしまいます。
つまり（１，１）（４，１）（１，４）（４，４）を頂点とする正方形の各格子点に点が１つずつなければならないということです。このように各格子点に１つだけはいる場合表Ａと表Ｂは互いに独立であると呼ぶことにします。
互いに独立という概念は理解しにくいかもしれませんので、独立でない例を示してみたいと思います。下が独立でない種です。
縦横斜めの合計は同じになっています。ところが（６，５）（６，５）というように同じ組み合わせが存在してしまっています。この２つの場所は合成した際に
６×（６－５）＋５＝３０
の計算から同じ数字３０になってしまいます。すなわち、１から３６までの数字が１つずつ入らなければならないという魔方陣（この場合は６方陣）の基本的な要求を満たさないことになります。
したがって、ｎ方陣種の基本的な要求は３つということになります。
① 各表には１からｎまでの数字がそれぞれｎ個ずつ入っている。
② 縦横斜めの合計が一致する。
③ ２つの表が独立である。 ①の要求は②③の条件から必然的に出てきます。
種が自分とは独立な種を１つもたない場合、その種から魔方陣を生産することができませんので、不生産的種（ふせいさんてきしゅ）と呼びます。反対に種が自分と独立な種を１つでももつ場合、その種から魔方陣を生産することができますので、生産的種と呼びます。これからの議論では、不生産的種は存在するのか種はすべて生産的なのかということが問題になってきます。
注 ホームページを開設した直後に、「②縦横斜めの合計が一致する」の条件を満たさない解が存在していることが発見された。第５節参照。
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