５．特別偶数方陣
① ４方陣
偶数方陣の中で比較的容易にできるのが、４方陣である。数字が小さいため、手作業でも何とか作ることができる。しかしながら、４方陣がはたす役割は大きい。４方陣と奇数方陣の手法を組み合わせれば、４の奇数倍の魔方陣が作れるからである。また、４方陣の手法を複数回と奇数方陣の手法を組み合わせれば、４の累乗の奇数倍方陣も作成できる。したがって、１２・１６・２０・２８・３６・４４・４８方陣などが作れるのである。後のプログラムを走らせてみればわかる通り、これらの魔方陣をコンピュータは１秒の間に何千個も作成してしまうだろう。
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条件「② 縦横斜めの合計が一致する。」を満たさない、種による解の例
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② ４の奇数倍方陣
４の奇数倍方陣の説明にはいる前に、奇数（素数を含む）方陣種の重要な特徴に触れておこう。
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これは総数方陣のときに出した５方陣種の１例である。この種は、縦横斜めの合計が同じ１５になっているだけでなく、どの行列も対角線も１から５までの数字が１つずつ並んでいる。つまり縦や横や対角線のところに５種類の数字が並んでいるのである。縦・横・対角線が同じになるためには、５種類の数字が並んでいる必要はない。例えば、下の表ように４１５１４と並んでいても、合計は１５である。
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ⅠとⅡを比較すると、Ⅰの方が制約条件が強い。そこでⅠのような種（縦横斜めの合計が同じであるだけでなく、１つの行や列や対角線には同じ数字が入っていない種）を特殊種と呼び、Ⅱを非特殊種と呼び、特殊種と非特殊種をひっくるめて、一般種と呼ぶことにする。そして、すべての特殊種を要素とする集合を特殊領域、すべての一般種を要素とする集合を一般領域と呼ぶことにする。（このホームページ作成後、一般領域より広い種領域が存在していることが発見された。このページの①４方陣の赤の文字で書いてある部分を参照。縦横斜めの合計が一致することが、一般領域種の条件であったが、その条件を満たさない生産的種が存在しているのである。（商の方で一致していなくても、余りの方で、差を埋めることができる場合があるのである。））
４の奇数倍方陣などを考える際に、一般領域ではなく、より制約の強い特殊領域に限定することが、正解への近道になるのである。条件が強い方が、問題が簡単になる場合があるが、これもその例である。そこで特殊種を作ることを考えてみよう。
３方陣の手法と４方陣の手法を組み合わせて、１２方陣特殊種を作ることを考えてみよう。
例えば、３方陣は次のようにしてできる。
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まずⅠⅢを組み合わせてみよう。作り方は二つある。ⅢをⅠの中に入れこ式に入れるやり方とその逆である。前者から作ってみよう。
ⅠⅡから１を引いておくと、
これに４方陣種を組み合わせる。
Ⅰ’の１のところには４×１＝４を加えて入れる。Ⅰ’の２のところは４×２＝８を加えて入れる。Ⅰ’の０のところにはⅢをそのまま入れる。すなわち、４×０＝０を加えるというわけだ。つまり以下のようになる。
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見事に特殊種ができあがっていることを確認してもらいたい。つまり、どの行も列も対角線も１～１２までの数字が１つずつ入っているのである。同様にして、ⅣをⅡのなかにくむ込む。
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そして２つを合成すれば１２方陣は完成する。
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16 |
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26 |
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93 |
60 |
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97 |
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21 |
10 |
91 |
80 |
65 |
54 |
135 |
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98 |
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23 |
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5 |
18 |
31 |
44 |
| 87 |
76 |
61 |
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106 |
43 |
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17 |
6 |
| 64 |
51 |
86 |
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30 |
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今度は逆の組み込みをしてみよう。ⅠをⅢに組み込んでみよう。
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ⅢⅣから１引く。
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ⅠにⅢ’の１のところに３×１＝３を加えて入れる。Ⅲ’の２のところは３×２＝６を加えて入れる。Ⅲ’の３のところは３×３＝９を加えて入れる。Ⅲ’の０のところにはⅠをそのまま入れる。すなわち、４×０＝０を加えるというわけだ。つまり以下のようになる。
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同様にして、ⅡをⅣに組み込む。
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5 |
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7 |
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12 |
10 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
|
|
２つの特殊種を合成して、下のように完成。
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1 |
15 |
65 |
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54 |
104 |
79 |
93 |
143 |
118 |
132 |
| 3 |
14 |
25 |
42 |
53 |
64 |
81 |
92 |
103 |
120 |
131 |
142 |
| 13 |
27 |
2 |
52 |
66 |
41 |
91 |
105 |
80 |
130 |
144 |
119 |
| 140 |
115 |
129 |
107 |
82 |
96 |
62 |
37 |
51 |
29 |
4 |
18 |
| 117 |
128 |
139 |
84 |
95 |
106 |
39 |
50 |
61 |
6 |
17 |
28 |
| 127 |
141 |
116 |
94 |
108 |
83 |
49 |
63 |
38 |
16 |
30 |
5 |
| 71 |
46 |
60 |
32 |
7 |
21 |
137 |
112 |
126 |
98 |
73 |
87 |
| 48 |
59 |
70 |
9 |
20 |
31 |
114 |
125 |
136 |
75 |
86 |
97 |
| 58 |
72 |
47 |
19 |
33 |
8 |
124 |
138 |
113 |
85 |
99 |
74 |
| 101 |
76 |
90 |
134 |
109 |
123 |
35 |
10 |
24 |
68 |
43 |
57 |
| 78 |
89 |
100 |
111 |
122 |
133 |
12 |
23 |
34 |
45 |
56 |
67 |
| 88 |
102 |
77 |
121 |
135 |
110 |
22 |
36 |
11 |
55 |
69 |
44 |
|
|
③ ４の累乗の奇数倍方陣
まず１６（４の２乗）方陣を作ってみよう。４方陣の手法を２回組み合わせればよい。
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3 |
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1 |
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3 |
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1 |
2 |
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ⅠⅡから１をそれぞれ引く。
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1 |
2 |
3 |
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1 |
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2 |
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0 |
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2 |
| 2 |
3 |
0 |
1 |
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ⅡをⅠ'に組み込む。組み込み方はⅠ'の升の数字×４＋Ⅱの升の数字とすればいい。
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15 |
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3 |
2 |
1 |
8 |
7 |
6 |
5 |
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10 |
9 |
16 |
15 |
14 |
13 |
| 2 |
1 |
4 |
3 |
6 |
5 |
8 |
7 |
10 |
9 |
12 |
11 |
14 |
13 |
16 |
15 |
| 9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
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1 |
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6 |
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| 11 |
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3 |
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1 |
2 |
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5 |
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9 |
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2 |
1 |
4 |
3 |
6 |
5 |
8 |
7 |
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5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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9 |
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7 |
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6 |
3 |
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1 |
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2 |
1 |
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9 |
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2 |
1 |
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3 |
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13 |
16 |
15 |
10 |
9 |
12 |
11 |
|
|
１６方陣の特殊種が完成しているのがおわかりいただけると思う。どの行列にも２つの対角線にも１から１６までの数字が１つずつ入っているのである。
同様にしてⅠをⅡ'の中に組み入れる。
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
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16 |
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3 |
2 |
1 |
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7 |
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5 |
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11 |
10 |
9 |
16 |
15 |
14 |
13 |
| 2 |
1 |
4 |
3 |
6 |
5 |
8 |
7 |
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9 |
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14 |
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| 3 |
4 |
1 |
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7 |
8 |
5 |
6 |
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9 |
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| 13 |
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9 |
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5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
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3 |
4 |
| 16 |
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14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
| 14 |
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16 |
15 |
10 |
9 |
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11 |
6 |
5 |
8 |
7 |
2 |
1 |
4 |
3 |
| 15 |
16 |
13 |
14 |
11 |
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9 |
10 |
7 |
8 |
5 |
6 |
3 |
4 |
1 |
2 |
| 5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
13 |
14 |
15 |
16 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
| 6 |
5 |
8 |
7 |
2 |
1 |
4 |
3 |
14 |
13 |
16 |
15 |
10 |
9 |
12 |
11 |
| 7 |
8 |
5 |
6 |
3 |
4 |
1 |
2 |
15 |
16 |
13 |
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9 |
10 |
| 9 |
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16 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| 12 |
11 |
10 |
9 |
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15 |
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4 |
3 |
2 |
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8 |
7 |
6 |
5 |
| 10 |
9 |
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11 |
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15 |
2 |
1 |
4 |
3 |
6 |
5 |
8 |
7 |
| 11 |
12 |
9 |
10 |
15 |
16 |
13 |
14 |
3 |
4 |
1 |
2 |
7 |
8 |
5 |
6 |
|
|
以上２つの特殊種は互いに独立である。Ⅰ'とⅡ'が互いに独立であり、ⅠとⅡも互いに独立であるからである。２つを合成すると１６方陣が完成する。
| 1 |
18 |
35 |
52 |
69 |
86 |
103 |
120 |
137 |
154 |
171 |
188 |
205 |
222 |
239 |
256 |
| 51 |
36 |
17 |
2 |
119 |
104 |
85 |
70 |
187 |
172 |
153 |
138 |
255 |
240 |
221 |
206 |
| 20 |
3 |
50 |
33 |
88 |
71 |
118 |
101 |
156 |
139 |
186 |
169 |
224 |
207 |
254 |
237 |
| 34 |
49 |
4 |
19 |
102 |
117 |
72 |
87 |
170 |
185 |
140 |
155 |
238 |
253 |
208 |
223 |
| 201 |
218 |
235 |
252 |
141 |
158 |
175 |
192 |
65 |
82 |
99 |
116 |
5 |
22 |
39 |
56 |
| 251 |
236 |
217 |
202 |
191 |
176 |
157 |
142 |
115 |
100 |
81 |
66 |
55 |
40 |
21 |
6 |
| 220 |
203 |
250 |
233 |
160 |
143 |
190 |
173 |
84 |
67 |
114 |
97 |
24 |
7 |
54 |
37 |
| 234 |
249 |
204 |
219 |
174 |
189 |
144 |
159 |
98 |
113 |
68 |
83 |
38 |
53 |
8 |
23 |
| 77 |
94 |
111 |
128 |
9 |
26 |
43 |
60 |
197 |
214 |
231 |
248 |
129 |
146 |
163 |
180 |
| 127 |
112 |
93 |
78 |
59 |
44 |
25 |
10 |
247 |
232 |
213 |
198 |
179 |
164 |
145 |
130 |
| 96 |
79 |
126 |
109 |
28 |
11 |
58 |
41 |
216 |
199 |
246 |
229 |
148 |
131 |
178 |
161 |
| 110 |
125 |
80 |
95 |
42 |
57 |
12 |
27 |
230 |
245 |
200 |
215 |
162 |
177 |
132 |
147 |
| 133 |
150 |
167 |
184 |
193 |
210 |
227 |
244 |
13 |
30 |
47 |
64 |
73 |
90 |
107 |
124 |
| 183 |
168 |
149 |
134 |
243 |
228 |
209 |
194 |
63 |
48 |
29 |
14 |
123 |
108 |
89 |
74 |
| 152 |
135 |
182 |
165 |
212 |
195 |
242 |
225 |
32 |
15 |
62 |
45 |
92 |
75 |
122 |
105 |
| 166 |
181 |
136 |
151 |
226 |
241 |
196 |
211 |
46 |
61 |
16 |
31 |
106 |
121 |
76 |
91 |
|
|
これに奇数方陣の手法を組み合わせれば、１６の奇数倍の魔方陣を作ることができる。また、４方陣の手法を３回組み合わせれば、６４方陣が作成できる。それに奇数方陣の手法を組み合わせれば、６４の奇数倍の魔方陣が作成できるわけだ。
④ ８倍数方陣
８の倍数方陣は特別の事情からできる。８の倍数方陣は、素数方陣や奇数方陣で使ったずらし法でできる。ただし、できあがる種は、素数方陣や奇数方陣のときと違って、非特殊種である。（２００４年１月６日訂正）
８方陣を例に説明してみよう。１行目に入れることのできる順列は特別なものに限られている。（素数方陣では任意の順列を入れることができた。また、奇数方陣では先頭または最後に制約がある以外は自由であった。）例えば、１２３４８７６５という順列である。この横列を基に２ずらしをしてみよう。
| 1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
| 6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
| 8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
| 6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
| 8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
|
|
非特殊種ができていることを確認していただきたい。行と対角線は１から８までの数字が１つずつ入っているが、列は同じ数字が２回は入って来る。例えば、１列目は１６８３１６８３である。しかし、合計は１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６と同じ３６である。他の列も同様である。したがって、特殊種ではないが種になっているのである。
次に３ずらしを行ってみよう。
| 1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
| 7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
| 3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
| 5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
| 8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
| 6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
7 |
| 4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
|
赤の対角線をのぞくと、特殊種の条件を満たしている。赤の対角線が原因となって、非特殊種となってしまっている。ⅠⅡは互いに独立である。ずらし方が違うためである。したがって、ⅠⅡを合成するれば、８方陣が完成する。
| 1 |
10 |
19 |
28 |
64 |
55 |
46 |
37 |
| 54 |
45 |
33 |
2 |
11 |
20 |
32 |
63 |
| 24 |
31 |
62 |
53 |
41 |
34 |
3 |
12 |
| 35 |
4 |
16 |
23 |
30 |
61 |
49 |
42 |
| 57 |
50 |
43 |
36 |
8 |
15 |
22 |
29 |
| 14 |
21 |
25 |
58 |
51 |
44 |
40 |
7 |
| 48 |
39 |
6 |
13 |
17 |
26 |
59 |
52 |
| 27 |
60 |
56 |
47 |
38 |
5 |
9 |
18 |
|
|
