5.特別偶数方陣
@ 4方陣
 偶数方陣の中で比較的容易にできるのが、4方陣である。数字が小さいため、手作業でも何とか作ることができる。しかしながら、4方陣がはたす役割は大きい。4方陣と奇数方陣の手法を組み合わせれば、4の奇数倍の魔方陣が作れるからである。また、4方陣の手法を複数回と奇数方陣の手法を組み合わせれば、4の累乗の奇数倍方陣も作成できる。したがって、12・16・20・28・36・44・48方陣などが作れるのである。後のプログラムを走らせてみればわかる通り、これらの魔方陣をコンピュータは1秒の間に何千個も作成してしまうだろう。
 
    



 
1 2 3 4
3 4 1 2
4 3 2 1
2 1 4 3



 
 
    



 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 1 4 3
3 4 1 2



 
 
 
          



 
1 6 11 16
15 12 5 2
8 3 14 9
10 13 4 7



 
 
 条件「A 縦横斜めの合計が一致する。」を満たさない、種による解の例



 
1 4 3 2
4 2 1 3
2 3 4 1
3 1 2 4



 



 
1 2 3 4
4 1 4 1
3 4 1 2
2 3 2 3



 



 
1 14 11 8
16 5 4 9
7 12 13 2
10 3 6 15



 
 
A 4の奇数倍方陣
 
 4の奇数倍方陣の説明にはいる前に、奇数(素数を含む)方陣種の重要な特徴に触れておこう。




 
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
2 3 4 5 1
5 1 2 3 4
3 4 5 1 2


   T

 




 
 
 これは総数方陣のときに出した5方陣種の1例である。この種は、縦横斜めの合計が同じ15になっているだけでなく、どの行列も対角線も1から5までの数字が1つずつ並んでいる。つまり縦や横や対角線のところに5種類の数字が並んでいるのである。縦・横・対角線が同じになるためには、5種類の数字が並んでいる必要はない。例えば、下の表ように41514と並んでいても、合計は15である。
 




 
1 2 4 5 3
4 1 5 1 4
3 5 3 2 2
3 4 2 5 1
4 3 1 2 5


    U

 
 
 TとUを比較すると、Tの方が制約条件が強い。そこでTのような種(縦横斜めの合計が同じであるだけでなく、1つの行や列や対角線には同じ数字が入っていない種)を特殊種と呼び、Uを非特殊種と呼び、特殊種と非特殊種をひっくるめて、一般種と呼ぶことにする。そして、すべての特殊種を要素とする集合を特殊領域、すべての一般種を要素とする集合を一般領域と呼ぶことにする。(このホームページ作成後、一般領域より広い種領域が存在していることが発見された。このページの@4方陣の赤の文字で書いてある部分を参照。縦横斜めの合計が一致することが、一般領域種の条件であったが、その条件を満たさない生産的種が存在しているのである。(商の方で一致していなくても、余りの方で、差を埋めることができる場合があるのである。))
 
 4の奇数倍方陣などを考える際に、一般領域ではなく、より制約の強い特殊領域に限定することが、正解への近道になるのである。条件が強い方が、問題が簡単になる場合があるが、これもその例である。そこで特殊種を作ることを考えてみよう。
 
 3方陣の手法と4方陣の手法を組み合わせて、12方陣特殊種を作ることを考えてみよう。
 例えば、3方陣は次のようにしてできる。
                   


 
2 1 3
3 2 1
1 3 2

  T 
 
3 1 2
1 2 3
2 3 1

  U
 
 
         


 
8 1 6
3 5 7
4 9 2


 
1 2 3 4
3 4 1 2
4 3 2 1
2 1 4 3

  V

 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 1 4 3
3 4 1 2

W

 
 
 
 
まずTVを組み合わせてみよう。作り方は二つある。VをTの中に入れこ式に入れるやり方とその逆である。前者から作ってみよう。
 TUから1を引いておくと、


 

  T’ 

  U’
 
 
 これに4方陣種を組み合わせる。
                     
T’ののところには4×を加えて入れる。T’ののところは4×を加えて入れる。T’ののところにはVをそのまま入れる。すなわち、4×を加えるというわけだ。つまり以下のようになる。
 
5 6 7 8 1 2 3 4 9 10 11 12
7 8 5 6 3 4 1 2 11 12 9 10
8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9
6 5 8 7 2 1 4 3 10 9 12 11
9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4
11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
10 9 12 11 6 5 8 7 2 1 4 3
1 2 3 4 9 10 11 12 5 6 7 8
3 4 1 2 11 12 9 10 7 8 5 6
4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5
2 1 4 3 10 9 12 11 6 5 8 7











 
 
 
 
 
見事に特殊種ができあがっていることを確認してもらいたい。つまり、どの行も列も対角線も1〜12までの数字が1つずつ入っているのである。同様にして、WをUのなかにくむ込む。
 
 
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8
12 11 10 9 4 3 2 1 8 7 6 5
10 9 12 11 2 1 4 3 6 5 8 7
11 12 9 10 3 4 1 2 7 8 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9
2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11
3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4
8 7 6 5 12 11 10 9 4 3 2 1
6 5 8 7 10 9 12 11 2 1 4 3
7 8 5 6 11 12 9 10 3 4 1 2











 
 
そして2つを合成すれば12方陣は完成する。
 
101 114 127 140 1 14 27 40 57 70 83 96
139 128 113 102 39 28 13 2 95 84 69 58
116 103 138 125 16 3 38 25 72 59 94 81
126 137 104 115 26 37 4 15 82 93 60 71
9 22 35 48 53 66 79 92 97 110 123 136
47 36 21 10 91 80 65 54 135 124 109 98
24 11 46 33 68 55 90 77 112 99 134 121
34 45 12 23 78 89 56 67 122 133 100 111
49 62 75 88 105 118 131 144 5 18 31 44
87 76 61 50 143 132 117 106 43 32 17 6
64 51 86 73 120 107 142 129 20 7 42 29
74 85 52 63 130 141 108 119 30 41 8 19











 
 
 
今度は逆の組み込みをしてみよう。TをVに組み込んでみよう。


 
2 1 3
3 2 1
1 3 2

  T 
 
3 1 2
1 2 3
2 3 1

  U
 
 
1 2 3 4
3 4 1 2
4 3 2 1
2 1 4 3

  V

 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 1 4 3
3 4 1 2

W

 
 
VWから1引く。
 
                    
0 1 2 3
2 3 0 1
3 2 1 0
1 0 3 2

  V’

 
0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1
 
W’
 
 
 
 
TにV’ののところに3×を加えて入れる。V’ののところは3×を加えて入れる。V’ののところは3×を加えて入れる。V’ののところにはTをそのまま入れる。すなわち、4×を加えるというわけだ。つまり以下のようになる。
 
2 1 3 5 4 6 8 7 9 11 10 12
3 2 1 6 5 4 9 8 7 12 11 10
1 3 2 4 6 5 7 9 8 10 12 11
8 7 9 11 10 12 2 1 3 5 4 6
9 8 7 12 11 10 3 2 1 6 5 4
7 9 8 10 12 11 1 3 2 4 6 5
11 10 12 8 7 9 5 4 6 2 1 3
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
10 12 11 7 9 8 4 6 5 1 3 2
5 4 6 2 1 3 11 10 12 8 7 9
6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7
4 6 5 1 3 2 10 12 11 7 9 8











 
 
同様にして、UをWに組み込む。
 
3 1 2 6 4 5 9 7 8 12 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 1 5 6 4 8 9 7 11 12 10
12 10 11 9 7 8 6 4 5 3 1 2
10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3
11 12 10 8 9 7 5 6 4 2 3 1
6 4 5 3 1 2 12 10 11 9 7 8
4 5 6 1 2 3 10 11 12 7 8 9
5 6 4 2 3 1 11 12 10 8 9 7
9 7 8 12 10 11 3 1 2 6 4 5
7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6
8 9 7 11 12 10 2 3 1 5 6 4











 
 
2つの特殊種を合成して、下のように完成。
 
26 1 15 65 40 54 104 79 93 143 118 132
3 14 25 42 53 64 81 92 103 120 131 142
13 27 2 52 66 41 91 105 80 130 144 119
140 115 129 107 82 96 62 37 51 29 4 18
117 128 139 84 95 106 39 50 61 6 17 28
127 141 116 94 108 83 49 63 38 16 30 5
71 46 60 32 7 21 137 112 126 98 73 87
48 59 70 9 20 31 114 125 136 75 86 97
58 72 47 19 33 8 124 138 113 85 99 74
101 76 90 134 109 123 35 10 24 68 43 57
78 89 100 111 122 133 12 23 34 45 56 67
88 102 77 121 135 110 22 36 11 55 69 44











 
 
 
B 4の累乗の奇数倍方陣
 まず16(4の2乗)方陣を作ってみよう。4方陣の手法を2回組み合わせればよい。
 
                 
1 2 3 4
3 4 1 2
4 3 2 1
2 1 4 3

  T

 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 1 4 3
3 4 1 2

  U

 
 
 TUから1をそれぞれ引く。
 
                 
0 1 2 3
2 3 0 1
3 2 1 0
1 0 3 2

T'

 
0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

U'

 
 
 UをT'に組み込む。組み込み方はT'の升の数字×4+Uの升の数字とすればいい。
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 15 16 13 14
4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13
2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15
9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 9 10 15 16 13 14 3 4 1 2 7 8 5 6
12 11 10 9 16 15 14 13 4 3 2 1 8 7 6 5
10 9 12 11 14 13 16 15 2 1 4 3 6 5 8 7
13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4
15 16 13 14 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
14 13 16 15 10 9 12 11 6 5 8 7 2 1 4 3
5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 11 12
7 8 5 6 3 4 1 2 15 16 13 14 11 12 9 10
8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9
6 5 8 7 2 1 4 3 14 13 16 15 10 9 12 11















 
 
 16方陣の特殊種が完成しているのがおわかりいただけると思う。どの行列にも2つの対角線にも1から16までの数字が1つずつ入っているのである。
 同様にしてTをU'の中に組み入れる。
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13
2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15
3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 15 16 13 14
13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
14 13 16 15 10 9 12 11 6 5 8 7 2 1 4 3
15 16 13 14 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2
5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 11 12
8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9
6 5 8 7 2 1 4 3 14 13 16 15 10 9 12 11
7 8 5 6 3 4 1 2 15 16 13 14 11 12 9 10
9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8
12 11 10 9 16 15 14 13 4 3 2 1 8 7 6 5
10 9 12 11 14 13 16 15 2 1 4 3 6 5 8 7
11 12 9 10 15 16 13 14 3 4 1 2 7 8 5 6















 
 
 以上2つの特殊種は互いに独立である。T'とU'が互いに独立であり、TとUも互いに独立であるからである。2つを合成すると16方陣が完成する。
 
1 18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256
51 36 17 2 119 104 85 70 187 172 153 138 255 240 221 206
20 3 50 33 88 71 118 101 156 139 186 169 224 207 254 237
34 49 4 19 102 117 72 87 170 185 140 155 238 253 208 223
201 218 235 252 141 158 175 192 65 82 99 116 5 22 39 56
251 236 217 202 191 176 157 142 115 100 81 66 55 40 21 6
220 203 250 233 160 143 190 173 84 67 114 97 24 7 54 37
234 249 204 219 174 189 144 159 98 113 68 83 38 53 8 23
77 94 111 128 9 26 43 60 197 214 231 248 129 146 163 180
127 112 93 78 59 44 25 10 247 232 213 198 179 164 145 130
96 79 126 109 28 11 58 41 216 199 246 229 148 131 178 161
110 125 80 95 42 57 12 27 230 245 200 215 162 177 132 147
133 150 167 184 193 210 227 244 13 30 47 64 73 90 107 124
183 168 149 134 243 228 209 194 63 48 29 14 123 108 89 74
152 135 182 165 212 195 242 225 32 15 62 45 92 75 122 105
166 181 136 151 226 241 196 211 46 61 16 31 106 121 76 91















 
 
 これに奇数方陣の手法を組み合わせれば、16の奇数倍の魔方陣を作ることができる。また、4方陣の手法を3回組み合わせれば、64方陣が作成できる。それに奇数方陣の手法を組み合わせれば、64の奇数倍の魔方陣が作成できるわけだ。
 
 
C 8倍数方陣
 8の倍数方陣は特別の事情からできる。8の倍数方陣は、素数方陣や奇数方陣で使ったずらし法でできる。ただし、できあがる種は、素数方陣や奇数方陣のときと違って、非特殊種である。(2004年1月6日訂正)
 8方陣を例に説明してみよう。1行目に入れることのできる順列は特別なものに限られている。(素数方陣では任意の順列を入れることができた。また、奇数方陣では先頭または最後に制約がある以外は自由であった。)例えば、12348765という順列である。この列を基に2ずらしをしてみよう。
 
1 2 3 4 8 7 6 5
6 5 1 2 3 4 8 7
8 7 6 5 1 2 3 4
3 4 8 7 6 5 1 2
1 2 3 4 8 7 6 5
6 5 1 2 3 4 8 7
8 7 6 5 1 2 3 4
3 4 8 7 6 5 1 2




     T


 
 
 非特殊種ができていることを確認していただきたい。行と対角線は1から8までの数字が1つずつ入っているが、列は同じ数字が2回は入って来る。例えば、1列目は16831683である。しかし、合計は1+2+3+4+5+6+7+8=36と同じ36である。他の列も同様である。したがって、特殊種ではないが種になっているのである。
 次に3ずらしを行ってみよう。
 
1 2 3 4 8 7 6 5
7 6 5 1 2 3 4 8
3 4 8 7 6 5 1 2
5 1 2 3 4 8 7 6
8 7 6 5 1 2 3 4
2 3 4 8 7 6 5 1
6 5 1 2 3 4 8 7
4 8 7 6 5 1 2 3



     U



 
 
 赤の対角線をのぞくと、特殊種の条件を満たしている。赤の対角線が原因となって、非特殊種となってしまっている。TUは互いに独立である。ずらし方が違うためである。したがって、TUを合成するれば、8方陣が完成する。
 
1 10 19 28 64 55 46 37
54 45 33 2 11 20 32 63
24 31 62 53 41 34 3 12
35 4 16 23 30 61 49 42
57 50 43 36 8 15 22 29
14 21 25 58 51 44 40 7
48 39 6 13 17 26 59 52
27 60 56 47 38 5 9 18







 
 
 


 

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