第１７講 関数の再帰的呼び出しによる３次・４次魔方陣ソフトの改良
第７話 奇数版枠番号付けの解説その２
　　　　　 　　　　　　else if(i<2*n+(n*n-3*n)/2){
　　　　　　 　　　　　　　x[i]=(i-2*n+1)%(n-2);
　　　　　　　 　　　　　　y[i]=(i-2*n+1)/(n-2);
　　　　　　　　 　　　　　if(x[i]>=y[i])x[i]++;
　　　　　　　　　 　　　　if(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;
　　　　　　　　　　 　}
　　　　　　　　　　　 else if(i<3*n-1+(n*n-3*n)/2){
　 　　　　　　　　　　　　x[i]=i-2*n-(n*n-3*n)/2;
　　 　　　　　　　　　　　y[i]=m;
　　　 　　　　　　　　　　if(x[i]>=y[i])x[i]++;
　　　　 　　　　　　　}
　　　　　 　　　　　　else{
　　　　　　 　　　　　　　x[i]=(i-2*n)%(n-2);
　　　　　　　 　　　　　　y[i]=(i-2*n)/(n-2);
　　　　　　　　 　　　　　if(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;
　　　　　　　　　 　　　　if(x[i]>=y[i])x[i]++;
　　　　　　　　　　 　}
まず、i<2*n+(n*n-3*n)/2から解説しましょう。

nに５を代入すると、２×５＋（５×５−３×５）÷２＝１５

になることが分かります。
ですから、iの対象範囲は９から１４までとなります。
なぜうまく１５となるのでしょうか。

実は次の計算をしています。
２×ｎ−１＋｛ｎ×ｎ−（２×ｎ−１）−（ｎ−１）｝÷２
＝２×ｎ−１＋（ｎ×ｎ−３×ｎ＋２）÷２
＝２×ｎ−１＋（ｎ×ｎ−３×ｎ）÷２＋１
＝２×ｎ＋（ｎ×ｎ−３×ｎ）÷２
対角線と逆対角線でセル数が２×ｎ−１個ですから、

は２×ｎ−１番目です。
番号は０から始まるからです。

では、｛ｎ×ｎ−（２×ｎ−１）−（ｎ−１）｝÷２においては何を計算しているのでしょうか。

対角線と逆対角線のセルと
中央行の中央のセル以外のセルを除いたセルすなわち

の

を除いたセルとの
の合計数を全セル数から引いています。


−（２×ｎ−１）で対角線と逆対角線の合計セル数を引いて、
−（ｎ−１）で

中央行の中央のセルを除いた
セル数分を引いています。

そして、それを２で割れば左表の水色以外のセル（９，１０，１１，１３，１３，１４）数
になるのはお分かりでしょうか。





では、
　　　　　　　　　　　 else if(i<3*n-1+(n*n-3*n)/2){
　 　　　　　　　　　　　　x[i]=i-2*n-(n*n-3*n)/2;
　　 　　　　　　　　　　　y[i]=m;
　　　 　　　　　　　　　　if(x[i]>=y[i])x[i]++;
　　　　 　　　　　　　}
のi<3*n-1+(n*n-3*n)/2は何でしょうか。
実はこれは
　２×ｎ−１＋｛ｎ×ｎ−（２×ｎ−１）−（ｎ−１）｝÷２＋（ｎ−１）
＝２×ｎ−１＋（ｎ×ｎ−３×ｎ＋２）÷２＋ｎ−１
＝２×ｎ−１＋（ｎ×ｎ−３×ｎ）÷２＋１＋ｎ−１
＝３×ｎ−１＋（ｎ×ｎ−３×ｎ）÷２
＝３＊ｎ−１＋（ｎ＊ｎ−３＊ｎ）／２
つまり前回の2*n+(n*n-3*n)/2に(n-1)を加えているのです。
(n-1)は

の

を除いたセル数です。


ですから3*n-1+(n*n-3*n)/2は

を指すことになりましてi<3*n-1+(n*n-3*n)/2の指し示す範囲は、
１５，１６，１７，１８とうまくいきます。



　 　　　　　　　　　　　　x[i]=i-2*n-(n*n-3*n)/2;
　　 　　　　　　　　　　　y[i]=m;
　　　 　　　　　　　　　　if(x[i]>=y[i])x[i]++;
については、y[i]=m;のｍはｎ／２でしたからｍ＝２でうまくいっています。
はi-2*n-(n*n-3*n)/2はｉから2*n+(n*n-3*n)/2を引いていますので、
０，１，２，３と動いていき、if(x[i]>=y[i])x[i]++;によって、
０，１，３，４となります。




最後の
　　　　　 　　　　　　else{
　　　　　　 　　　　　　　x[i]=(i-2*n)%(n-2);
　　　　　　　 　　　　　　y[i]=(i-2*n)/(n-2);
　　　　　　　　 　　　　　if(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;
　　　　　　　　　 　　　　if(x[i]>=y[i])x[i]++;
　　　　　　　　　　 　}
の対象は残りの

１９，２０，２１，２２，２３，２４
であることはお分かりでしょう。








尚、ｎ＝５の場合で説明しましたが、奇数ならいくつでも成り立つ普遍的（汎用性の広い）プログラムです。
是非、皆さんｎ＝７やｎ＝９などでトレースして普遍性（一般性）を確認されて下さい。



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