C は解を一つ持つとき、解は無数に存在するか。

まず具体的な場合で考えてみよう。

             A

は解(x,y,z)=(1,1,3)をもっている。このときわれわれが定義する意味で、異なる解を無数に持っているであろうか。われわれの定義で、二つの解が異なる条件は

であった。

 式Aの両辺をで割り、と置くと、

     B

双曲線上Bに有理点(p,q)=(3,1)が存在している。そこで、点(3,1)を通る直線の傾きをtとすると、

     C

Bに代入して整理すると、

解の一つは、p=3である。よって、他の解をβとすると、2次方程式のおける解と係数の関係から、

であるがいずれの場合も、

よって、tが有理数であればβは有理数である。

βをpと置き直して。

Cに代入して、

tは任意の有理数をとることができるから、方程式Bは解

を無数に持っていることが証明された。

t=1のとき、

(p,q)=(5,3)

このとき、方程式Aの解は

(x,y,z)=(3,1,5)

t=2のとき、

(p,q)=(19/7,3/7)

(x,y,z)=(3,7,19)

t=3/4のとき、

(p,q)=(27,19)

(x,y,z)=(19,1,27)

t=4/5のとき、

(p,q)=(13,9)

(x,y,z)=(9,1,13)

t=8/11のとき、

(p,q)=(395/7,279/7)

(x,y,z)=(279,7,395)

 

 

次に一般的に考えてみよう。

      B

に解が存在すると仮定しよう。

 

     D

前と同様に点を通り、傾きがtの直線を考えると、

    E

式Bに代入して整理すると、

一方の解はなので、他方の解をβとすれば解と係数の関係から

                

       G

式Fから

式Gから

これに式Dを代入すれば

よって、式EからもFからも同じものが導かれる。

(ここでは解と係数の関係で解いたが、2次方程式の解の公式に代入しても解ける。そのさい、魔法のようにルートが消えてしまうことを、読者自身で確認していただきたい。)

tが有理数であれば、βは有理数。

よって、任意の有理数tについて、

は方程式以外の解であり、無数に存在することがわかる。式Eに代入して、

より、

よって、任意の有理数t、yに対して、

の有理数解である。そして、分母の公倍数をかけるなら自然数解となる。

以上から、方程式は有理数解を一つ持つなら、有理数解(分母の公倍数かけるなら自然数解)を無数に持っていることが証明された。よって、方程式は自然数解を無数に持つか、一つも持たないかのどちらかであるという拡大フェルマー予想は、2次では証明されたことになる。

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