④
は解を一つ持つとき、解は無数に存在するか。
まず具体的な場合で考えてみよう。
A
は解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，３）をもっている。このときわれわれが定義する意味で、異なる解を無数に持っているであろうか。われわれの定義で、二つの解
，
が異なる条件は
であった。
式Aの両辺を
で割り、
と置くと、
B
双曲線上Bに有理点（ｐ，ｑ）＝（３，１）が存在している。そこで、点（３，１）を通る直線の傾きをｔとすると、
C
式Bに代入して整理すると、
解の一つは、ｐ＝３である。よって、他の解をβとすると、２次方程式のおける解と係数の関係から、
であるがいずれの場合も、
よって、ｔが有理数であればβは有理数である。
βをｐと置き直して。
式Cに代入して、
ｔは任意の有理数をとることができるから、方程式Ｂは解
を無数に持っていることが証明された。
ｔ＝１のとき、
（ｐ，ｑ）＝（５，３）
このとき、方程式Ａの解は
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，１，５）
ｔ＝２のとき、
（ｐ，ｑ）＝（１９／７，３／７）
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，７，１９）
ｔ＝３／４のとき、
（ｐ，ｑ）＝（２７，１９）
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１９，１，２７）
ｔ＝４／５のとき、
（ｐ，ｑ）＝（１３，９）
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（９，１，１３）
ｔ＝８／１１のとき、
（ｐ，ｑ）＝（３９５／７，２７９／７）
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２７９，７，３９５）
次に一般的に考えてみよう。
Ｂ
に解
が存在すると仮定しよう。
Ｄ
前と同様に点を通り、傾きがｔの直線を考えると、
Ｅ
式Ｂに代入して整理すると、
一方の解は
なので、他方の解をβとすれば解と係数の関係から
Ｆ
Ｇ
式Ｆから
式Ｇから
これに式Ｄを代入すれば
よって、式ＥからもＦからも同じものが導かれる。
（ここでは解と係数の関係で解いたが、２次方程式の解の公式に代入しても解ける。そのさい、魔法のようにルートが消えてしまうことを、読者自身で確認していただきたい。）
ｔが有理数であれば、βは有理数。
よって、任意の有理数ｔについて、
は方程式の以外の解であり、無数に存在することがわかる。式Ｅに代入して、
より、
よって、任意の有理数ｔ、ｙに対して、
は
の有理数解である。そして、分母の公倍数をかけるなら自然数解となる。
以上から、方程式
は有理数解を一つ持つなら、有理数解（分母の公倍数かけるなら自然数解）を無数に持っていることが証明された。よって、方程式は自然数解を無数に持つか、一つも持たないかのどちらかであるという拡大フェルマー予想は、２次では証明されたことになる。
