⑤ 
を手がかりに自然数解（有理数解）が存在しない場合を探し出す方法
両辺
をで割り、ｚ／ｙ＝ｑ、ｘ／ｙ＝ｐとおくと
Ａ
ここで、ｑ＝ｐ＋αとおくと、
すなわち、
この２次方程式の判別式をＤとし、Ｄ／４＝ｄとおくと、
ｄが平方数ならＡの有理数解が存在してしまうので、
は有理数解を持たない。よって、
は自然数解（有理数解）を一つも持たない。
同様にＡにおいて、ｑ＝ｐ＋２αとおくと、
整理して、
よって
、
したがって、
Ｂ
は自然数解を一つも持たない。
式Ｂにおいて、ｑ＝ｐ＋αとおくと、
から、
ゆえに、
から、
は自然数解を一つも持たない。
式Ａにおいて、ｑ＝ｐ＋ｎαとおくと、
すなわち、
よって、
すなわち、
は自然数解を一つも持たない。
ｎは任意の有理数をとることができるから、解を持たない場合は無限に存在することが証明された。
同様に式Ｂにおいて、ｑ＝ｐ＋ｎαとおくと、
よって、
から
１．
ｎ＝２とき、
２．
ｎ＝３のとき
３．
ｎ＝４のとき、
