D を手がかりに自然数解(有理数解)が存在しない場合を探し出す方法

 

両辺をで割り、z/y=q、x/y=pとおくと

 

         A

 

ここで、q=p+αとおくと、

 

 

すなわち、

 

 

この2次方程式の判別式をDとし、D/4=dとおくと、

 

 

 

dが平方数ならAの有理数解が存在してしまうので、

 

 

は有理数解を持たない。よって、

 

 

は自然数解(有理数解)を一つも持たない。

 

同様にAにおいて、q=p+2αとおくと、

 

 

整理して、

 

 

よって

 

 

したがって、

 

         B

 

 

は自然数解を一つも持たない。

式Bにおいて、q=p+αとおくと、

 

 

から、

 

 

ゆえに、

 

 

 

から、

 

 

 

は自然数解を一つも持たない。

 

式Aにおいて、q=p+nαとおくと、

 

 

すなわち、

 

 

よって、

 

 

すなわち、

 

 

は自然数解を一つも持たない。

nは任意の有理数をとることができるから、解を持たない場合は無限に存在することが証明された。

 

同様に式Bにおいて、q=p+nαとおくと、

 

 

 

よって、

 

から

 

1.          n=2とき、

 

2.          n=3のとき

 

3.          n=4のとき、

 

 

 

 

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