を有理数とするとき、

方程式

　　　　　　Ａ

は自然数解をもつか。

 

特定の条件のとき、自然数解をもたないことは証明されている。特定の条件とは、

ｎ≧３で、のときで、

である。すなわち、有名なフェルマーの定理である。

　式Ａは常に自然数解をもたないだろうか。ｎ＝２のときは、

において、ａまたはｃが平方数ならば、自然数解が無限に存在することは、すでにこのＨＰ上で証明されている。

　ｎ≧３のときはどうであろうか。次の場合、自然数解が無限に存在することは自明である。ａ，ｂを自然数とし、

となるときである。この場合、式Ａは次のように因数分解される。

よって、（ｘ，ｙ，ａｘ＋ｂｙ）は式Ａの自然数解である。ｘ，ｙは任意の自然数をとることができるので、式Ａの自然数解は無限に存在する。

　これからの研究課題は、いかなるときに式Ａは無限に自然数解をもつのか、またはもたないのかである。

　なお、式Aが整数解をもつということと有理数解をもつことは同値である。なぜなら有理数解が存在したとすると、の分母の公倍数ｍによって、は整数の組であるが、のとき、

の計算からも式Aの解であるからである。

　同様にが有理数解のとき、任意の有理数αをかけたも式Ａの解である。これらを別の解とすると、解は存在するとすれば常に無限にあることになってしまうので、ここではのとき、解と解を同一解と定義することにする。したがって、異なる解の定義は、となることである。

 

拡大フェルマー予想

方程式

はｎ＝２の場合を含めある条件下では自然数解を一つも持たない。

 

�@　ｎ＝２の場合