�B　において、の両方が有理数の平方数でないのに、解をもつ条件

　　　　　　　A

の両辺をで割り、と置くと、

　　　　　　　　B

よって、式Aが有理数解をもつことと式Bが有理数解をもつことは同値であるから、式Aが有理数解をもつための必要十分条件は、式Bが有理数をもつことである。すなわち、式Aはが有理数の平方数となるような有理数ｐが存在するならば、有理数解をすなわち自然数解を持つ。

 

　式Bにｐ＝１を代入すると、

よって、が平方数であるときは、解をもつ。例えば、やときなどである。

，

前者も後者もを解として持つ。前者は、このほか

などを解として持ち、後者もなどを解として持つ。

　式Bにｐ＝２を代入すると、

よって、が平方数ならば、式Aは解を持つ。例は、

などである。

それぞれの解を順に一つずつあげると、である。

 

�Aにおける証明から

，，

は正の有理数解を一つも持たないことがわかる。

　また、�@における証明から

 も正の有理数解を持たない。言い換えれば、任意の有理数ｐに対して、は有理数の平方数にならない、ということである。

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