�A　は自然数解をもたないことの証明

方程式が自然数解をもつと仮定する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　Ａ

を変形すると

　　　　　　　　 　　 Ｂ

�T　ｘ、ｙの両方が奇数である場合

式Ａより、ｚも奇数。そこで、

とおくと、Ｂより

よって、

    の両方が奇数または偶数とすると、が偶数、の一方が奇数で他方が偶数であるとすると、が偶数となり、右辺が奇数であることに反する。

�U　ｘが奇数で、ｙが偶数である場合

Ａよりｚは偶数である。よって、ｚ＋ｙもｚ−ｙも偶数となり、式Ｂの左辺は４の倍数である。ところが、は奇数で、両辺を２で割ると左辺は偶数、右辺は奇数となって矛盾する。

�V　ｘが偶数で、ｙが奇数である場合

式Ａより、ｚは奇数である。よって、ｚ＋ｙもｚ−ｙも偶数となり、式Ｂの左辺は４の倍数である。ところが、は奇数で、両辺を２で割ると左辺は偶数、右辺は奇数となって矛盾する。

�W　ｘ、ｙ共に偶数である場合

式Ａからｚも偶数である。ｘ、ｙ、ｚの最大公約数をａとし、とおくと、の少なくとも一つは奇数である。式Ａに代入して整理すると、

ゆえに、だけ奇数で他は偶数であることはできないから、の少なくとも一方は奇数である。したがって、�T�U�Vから矛盾する。

以上�T�U�V�Wから方程式は自然数解をもたないことが証明された。

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