A は自然数解をもたないことの証明

方程式が自然数解をもつと仮定する。

                   A

を変形すると

            B

T x、yの両方が奇数である場合

式Aより、zも奇数。そこで、

とおくと、Bより

よって、

*    の両方が奇数または偶数とすると、が偶数、の一方が奇数で他方が偶数であるとすると、が偶数となり、右辺が奇数であることに反する。

U xが奇数で、yが偶数である場合

Aよりzは偶数である。よって、z+yもz−yも偶数となり、式Bの左辺は4の倍数である。ところが、は奇数で、両辺を2で割ると左辺は偶数、右辺は奇数となって矛盾する。

V xが偶数で、yが奇数である場合

式Aより、zは奇数である。よって、z+yもz−yも偶数となり、式Bの左辺は4の倍数である。ところが、は奇数で、両辺を2で割ると左辺は偶数、右辺は奇数となって矛盾する。

W x、y共に偶数である場合

式Aからzも偶数である。x、y、zの最大公約数をaとし、とおくと、の少なくとも一つは奇数である。式Aに代入して整理すると、

ゆえに、だけ奇数で他は偶数であることはできないから、の少なくとも一方は奇数である。したがって、TUVから矛盾する。

以上TUVWから方程式は自然数解をもたないことが証明された。

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