偶数方陣の作成方法３

 

偶数方陣は次の３つの部品があれば、すべて作成することができます。

�@　部品１（４方陣）

1	12	15	6
8	13	10	3
14	7	4	9
11	2	5	16

（４方陣であれば何でもよいのです。）

�A　部品２（6方陣）

19	5	13	33	18	23
17	7	11	30	15	31
9	28	21	16	8	29
35	27	22	4	20	3
6	10	32	26	36	1
25	34	12	2	14	24

（6方陣であればなんでもよいのです。）

�B　部品3（４−６方陣）

1	2	3	24	23	22
21	20	19	4	5	6
18	17	16	7	8	9
10	11	12	15	14	13

４−６方陣とは私の作った概念で、すべての行と列の平均が同じになるものをいいます。上の方陣は列も行もすべて平均が12.5になっています。

 

以上３つの部品を組み合わせることによって、すべての偶数魔方陣を作成することができます。

 

�T　４ｎ型（４の倍数）方陣の作成方法

　４の倍数方陣は部品１のみでできます。この作成方法は、プログラム魔方陣２で使っている方法です。この方法については魔方陣２の解説で述べてありますのでそちらを参照してください。

 

�U　４ｎ＋２型（４の倍数に２加えたもの）方陣の作成方法

４ｎ型では部品は自由に埋め込むことができました。ですから、例示されている４方陣のみに限定しても９！通りも魔方陣が作成できました。４ｎ＋２型ではひとつの部品だけに制約があります。それは部品２です。部品２は必ず中央にはめ込みます。しかも、部品２は中抜きでは使えません。必ず連続する数字で３６升を埋めます。例えば、１４方陣なら８１から１１６の連続する数字で埋めます。つまり部品２に８０を加えた

99	85	93	113	98	103
97	87	91	110	95	111
89	108	101	96	88	109
115	107	102	84	100	83
86	90	112	106	116	81
105	114	92	82	94	104

を中央に埋めることになります。それ以外の部品は下のように埋めます。

ピンクは部品１、薄緑は部品３、水色は上の表です。埋める順番は例えば、

１

２

３

４

９

５

６

７

８

水色を除けば任意の順番で埋めていくことができます。

水色（部品２）を最後にもってくる理由は、

先に申し上げましたように部品２は中抜きで使うことができないからです。

部品１はどの行・列・対角線をとっても８以下の数字と８より大きい数字がちょうど半分ずつで同数あります。

また、部品３はどの行・列をみても１２以下の数字と１２より大きい数字がやはり半分ずつで同数あります。

それに対して、部品２では行や列や対角線によっては、１８以下の数字と１８より大きい数字が同数になっておりません。

同数ではない列や行や対角線は、中抜けにしたとき和が同じになりません。

例えば、部品２の１８より大きい数字には１６０を加えて１８以下の数字はそのままにして中抜け方陣を作ってみますと、

179	5	13	193	18	183	591
17	7	11	190	15	191	431
9	188	181	16	8	189	591
195	187	182	4	180	3	751
6	10	192	186	196	1	591
185	194	12	2	14	184	591
591	591	591	591	431	751

となってしまいます。列や行などの和が一致しません。

行や列などの１８より大きい数字と１８以下の数字が同数なら同作業をやっても行や列などの和は等しくなるのですが。

ですから６方陣（部品２）は真ん中に連続した数字で入れるしかないのです。

　他の部品は中抜けで順に入れていきます。

１

２

３

４

９

５

６

７

８

１のピンクには部品１の８より大きい数字に１８０を加えたもの

1	192	195	6
8	193	190	3
194	7	4	189
191	2	5	196

を入れます。中抜け４方陣になっていることを注目してください。

次の２の薄緑には、部品３の１２以下の数字には８を加え１２より大きい数字には１６４を加えたもの

9	10	11	188	187	186
185	184	183	12	13	14
182	181	180	15	16	17
18	19	20	179	178	177

を入れます。これも中抜け４−６方陣になっています。

次の３のピンクには部品１の８以下の数字には２０を加え８より大きい数字には１６０を加えたもの

21	172	175	26
28	173	170	23
174	27	24	169
171	22	25	176

を入れます。次の４の薄緑には部品３の１２以下の数字には２８を加え１２より大きい数字には１４４を加えたもの

29	30	31	168	167	166
165	164	163	32	33	34
162	161	160	35	36	37
38	39	40	159	158	157

を横縦転置して入れます。以下同様に入れていって最後に水色を入れて次のように完成します。

1	192	195	6	9	10	11	188	187	186	21	172	175	26	1379
8	193	190	3	185	184	183	12	13	14	28	173	170	23	1379
194	7	4	189	182	181	180	15	16	17	174	27	24	169	1379
191	2	5	196	18	19	20	179	178	177	171	22	25	176	1379
29	165	162	38	99	85	93	113	98	103	41	153	150	50	1379
30	164	161	39	97	87	91	110	95	111	42	152	149	51	1379
31	163	160	40	89	108	101	96	88	109	43	151	148	52	1379
168	32	35	159	115	107	102	84	100	83	156	44	47	147	1379
167	33	36	158	86	90	112	106	116	81	155	45	48	146	1379
166	34	37	157	105	114	92	82	94	104	154	46	49	145	1379
53	140	143	58	61	62	63	136	135	134	73	120	123	78	1379
60	141	138	55	133	132	131	64	65	66	80	121	118	75	1379
142	59	56	137	130	129	128	67	68	69	122	79	76	117	1379
139	54	57	144	70	71	72	127	126	125	119	74	77	124	1379
1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379

 

以上のように１４方陣が作れることがわかりました。

では１０方陣はどうやって作るのでしょうか。

読者の皆さんわかりますか。

なるほど２２方陣などは紹介された方法で作れそうだが、

１０方陣や１８方陣などは無理ではなかろうかと思っている方が、

多いのではないでしょうか。

というのは、１０＝６＋４×１、１８＝６＋４×３で、

４方陣が偶数個でなく奇数個なので無理だと、いうわけです。

ところが奇数個でもできるんですよ。

答えは、『偶数方陣の一般的作成方法第３弾で１０方陣を作る。』をご覧あれ。

 

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