第２０講 一般種法による魔方陣ソフトの高速化
第３話 新しい番号付けのヒントその３

再度偶数の場合の規則性について考えてみましょう。
前回と違う例をとってみましょう。
１８次の場合

今回の場合も４つの系列
３６，６８，９８，１２６，１５２，１７６，１９８，２１８，２３６
５２，８３，１１２，１３９，１６４，１８７，２０８，２２７，２４４
２５２，２６８，２８２，２９４，３０４，３１２，３１８，３２２
２６０，２７５，２８８，２９９，３０８，３１５，３２０，３２３
の規則性は明らかです。
差をとれば
３２，３０，２８，２６，２４，２２，２０，１８
３１，２９，２７，２５，２３，２１，１９，１７
１６，１４，１２，１０，８，６，４
１５，１３，１１，９，７，５，３
ですね。
しかも、１番目の数列のはじまり３６には、普遍的（一般的）な法則があります。
２×ｎから始まっています。
２番目の数列のはじまり５２も２×ｎ＋（ｎ−２）＝３×ｎ−２です。
ｎ−２になっている理由は、対角線のセルと逆対角線のセルこの場合は０と１８を考慮に入れているからです。
つまり、ｎ−２とは、

のセル数に対応しています。

ｉが２×ｎ≦ｉ＜３×ｎ−２（３６≦ｉ＜５２）のとき、

y[ｉ]＝０であり、x[i]＝ｉ−（３６−１）＝ｉ−（２×ｎ−１）です。
全く混沌として、手がかりがないように見えましたが、
普遍的プログラミングの道筋が、光明が見えてきました。

次の

の場合、すなわちｉが６８≦ｉ＜８３の未満の場合はどうでしょうか。
y[ｉ]＝１、x[i]＝（ｉ−６８）＋２＝ｉ−（６８−２）は明らかですが、
６８や８３はｎによってどう表されるのでしょうか。
６８は２×ｎに

のセル数を加え、さらに

のセル数を加えればよいわけです。
それぞれｎ−２ですから、２×（ｎ−２）です。
ｎ＝１８ですから、３２です。
３６＋３２＝６８で正しいですね。
ですから６８は結局
６８＝２×ｎ＋２×（ｎ−２）＝４×ｎ−４と表されます。
これはｎ＝１８には限定されず、偶数であえば一般的に成り立ちます。

では、８３はどうでしょうか。
８３＝５２＋２１ですが、２１とは何でしょうか。

のセル数（ｎ−２）と

の逆対角線上の水色のセル１９を除いたセル数（ｎ−３）の合計です。

したがって、
（ｎ−２）＋（ｎ−３）＝２×ｎ−５＝２×１８−５＝２１
です。
ゆえに、
８３は
（３×ｎ−２）＋（２×ｎ−５）＝５×ｎ−７（＝５×１８−７＝８３）
です。



以上より、y[ｉ]＝１、x[i]＝（ｉ−６８）＋２＝ｉ−（６８−２）は
y[ｉ]＝１、x[i]＝ｉ−（（４×ｎ−４）−２）です。
つまり、
４×ｎ−４≦ｉ≦５×ｎ−７のとき、
y[ｉ]＝１、x[i]＝ｉ−（（４×ｎ−４）−２）

このようにして個々のケースは明らかにできます。
しかし、ｎの値は任意（＝ｎは普遍的）ですから、個々のケースをつないでより一般的に考えなければなりません。
それぞれののケース
　　２×ｎ≦ｉ＜３×ｎ−２のとき、
　　　　y[ｉ]＝０、x[i]＝ｉ−（２×ｎ−１）
　　４×ｎ−４≦ｉ≦５×ｎ−７のとき、
　　　　y[ｉ]＝１、x[i]＝ｉ−｛（４×ｎ−４）−２｝
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
は一般化できるでしょうか。
言い換えれば、for文で表現することはできるでしょうか。
int j,m;
m=n/2;
for(j=1;j<m+1;j++){
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
}

一般化するために再度数列と階差数列を掲げておきましょう。
数列
３６，６８，９８，１２６，１５２，１７６，１９８，２１８，２３６
５２，８３，１１２，１３９，１６４，１８７，２０８，２２７，２４４
階差数列
３２，３０，２８，２６，２４，２２，２０，１８
３１，２９，２７，２５，２３，２１，１９，１７

階差数列の方は一般化が簡単です。
３２，３０，２８，２６，２４，２２，２０，１８は初項が３２で公差が−２ですから、
３２−２＊（ｊ−１）＝２＊ｎ−４−２＊ｊ＋２＝２＊ｎ−２＊ｊ−２
（ｊはｉｆ文のｊ、そして （ｊ−１）はｙ（行番号）すなわちｊ＝ｙ＋１）
３１，２９，２７，２５，２３，２１，１９，１７は３２，３０，２８，２６，２４，２２，２０，１８からそれぞれ１引けばよいので、
２＊ｎ−２＊ｊ−３

数学の学習になってしまって申し訳ないのですが、
階差数列ｂｊから元の数列ａｊを出す公式は、
ａｊ＝ａ１＋（ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｊ−１）＝ａ１＋Σｂｋ（ｋはｋ＝１からｋ＝ｊ−１まで）
でした。
その公式に当てはめて３６，６８，９８，１２６，１５２，１７６，１９８，２１８，２３６は
　　　　 ｊ−１
２＊ｎ＋Σ（２＊ｎ−２＊ｋ−２）＝２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２
　　 　　 ｋ=1
５２，８３，１１２，１３９，１６４，１８７，２０８，２２７，２４４は
　　　 　　　 ｊ−１
３＊ｎ−２＋Σ（２＊ｎ−２＊ｋ−３）＝２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１
　　 　　　　　　 ｋ=1

（
５２，８３，１１２，１３９，１６４，１８７，２０８，２２７，２４４の一般項は次の考え方でも、導けます。

５２，８３，１１２，１３９，１６４，１８７，２０８，２２７，２４４
の階差数列ととると、
３１，２９，２７，２５，２３，２１，１９，１７

５２＝２＊ｎ＋（ｎ−２）＝３＊ｎ−２
３１＝｛（ｎ−２）−（ｊ−１）｝＋｛（ｎ−２）−ｊ）｝＝２＊ｎ−２＊ｊ−３　　　　
｛ｊは下表の一番左、これはｙ（行番号）＋１に対応、すなわちｊ＝ｙ＋１｝

（（ｎ−２）−（ｊ−１）はｊ＝１（すなわちｙ＝０（対角線上においてはｘ＝ｙ））のときは０列目の

の茶色のセル数、





（ｎ−２）−ｊは（ｎ−２）−（ｙ＋１）ですからｊ＝１すなわちｙ＝０とき、
（ｙ＋１）＝１行目の

の緑のセル数に対応しています。

（ここ講義ではすべてそうですが、色を対応させて読んでください。例えば、

はｘに対応いますし、

はｙに対応しています。
）

５２，８３，１１２，１３９，１６４，１８７，２０８，２２７，２４４の初項は３＊ｎ−２
で、階差数列は２＊ｎ−２＊ｊ−３ですから、この数列の一般項は、公式
ａｊ＝ａ１＋（ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｊ−１）＝ａ１＋Σｂｋ（ｋはｋ＝１からｋ＝ｊ−１まで）
によって、
　　　 　　　 ｊ−１
３＊ｎ−２＋Σ（２＊ｎ−２＊ｋ−３）＝２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１
　　 　　　　　　 ｋ=1

３６，６８，９８，１２６，１５２，１７６，１９８，２１８，２３６についても同様に導くこともできます。
）


ｙ［ｉ］については、

を見れば分かるように行番号ｙ＝（ｊ−１）に対応しているので、ｙ［ｉ］＝ｊ−１
ｘ［ｉ］については、
黄色の番号（３６，６８，９８など）のとき、ｉ＝２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２ですので、
ｘ［ｉ］＝ｉ−（２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２）＋ｊ（下表で確認して下さい。９８のｘ座標3とｊ番号3が一致しています。）　　　　
以上から緑色で塗った部分については

int j,m;
m=n/2;
for(j=1;j<m+1;j++){
　　if((i>=2*n*j-j*j-j+2) && (i<2*n*j+n-j*j-2*j+1)){
　　　　y[i]=j-1;
　　　　x[i]=i-（2*n*j-j*j-j+2)+j;
　　　　if(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　　　//（これは逆対角線を跨ぐときの処理）
　　}
}
と一般化できます。

例えば、１０次でも同様に成り立つことを確認してみましょう。

まず、m=n/2からｍ＝５
for文をトレースしていきましょう。
ｊ＝１のとき　　　
　　２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２＝２×１０×１−１×１−１＋２＝２０
　　２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１＝２×１０×１＋１０−１×１−２×１＋１＝２８
　　よって、ｉの範囲は２０≦ｉ＜２８
　　ｙ[ｉ]＝１−１＝０
　　ｘ[ｉ]＝ｉ−（２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２）＋ｊ＝ｉ−（２×１０×１−１×１−１＋２）＋１＝ｉ−１９
　　したがって、
　　ｙ［２０］＝０，ｘ[２０]＝ｉ−１９＝２０−１９＝１
　　ｙ［２１］＝０，ｘ[２１]＝ｉ−１９＝２１−１９＝２
　　ｙ［２２］＝０，ｘ[２２]＝ｉ−１９＝２２−１９＝３
　　ｙ［２３］＝０，ｘ[２３]＝ｉ−１９＝２３−１９＝４
　　ｙ［２４］＝０，ｘ[２４]＝ｉ−１９＝２４−１９＝５
　　ｙ［２５］＝０，ｘ[２５]＝ｉ−１９＝２５−１９＝６
　　ｙ［２６］＝０，ｘ[２６]＝ｉ−１９＝２６−１９＝７
　　ｙ［２７］＝０，ｘ[２０]＝ｉ−１９＝２７−１９＝８
ｊ＝２のとき　　　
　　２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２＝２×１０×２−２×２−２＋２＝３６
　　２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１＝２×１０×２＋１０−２×２−２×２＋１＝４３
　　よって、ｉの範囲は３６≦ｉ＜４３
　　ｙ[ｉ]＝２−１＝１
　　ｘ[ｉ]＝ｉ−（２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２）＋ｊ＝ｉ−（２×１０×２−２×２−２＋２）＋２＝ｉ−３４
　　したがって、
　　ｙ［３６］＝１，ｘ[３６]＝ｉ−３４＝３６−３４＝２
　　ｙ［３７］＝１，ｘ[３７]＝ｉ−３４＝３７−３４＝３
　　ｙ［３８］＝１，ｘ[３８]＝ｉ−３４＝３８−３４＝４
　　ｙ［３９］＝１，ｘ[３９]＝ｉ−３４＝３９−３４＝５
　　ｙ［４０］＝１，ｘ[４０]＝ｉ−３４＝４０−３４＝６
　　ｙ［４１］＝１，ｘ[４１]＝ｉ−３４＝４１−３４＝７
　　ｙ［４２］＝１，ｘ[４２]＝ｉ−３４＝４２−３４＝８
　　ｎ−ｙ［４２］−１＝１０−１−１＝８なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［４２］＝９
ｊ＝３のとき　　　
　　２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２＝２×１０×３−３×３−３＋２＝５０
　　２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１＝２×１０×３＋１０−３×３−２×３＋１＝５６
　　よって、ｉの範囲は５０≦ｉ＜５６
　　ｙ[ｉ]＝３−１＝２
　　ｘ[ｉ]＝ｉ−（２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２）＋ｊ＝ｉ−（２×１０×３−３×３−３＋２）＋３＝ｉ−４７
　　したがって、
　　ｙ［５０］＝２，ｘ[５０]＝ｉ−４７＝５０−４７＝３
　　ｙ［５１］＝２，ｘ[５１]＝ｉ−４７＝５１−４７＝４
　　ｙ［５２］＝２，ｘ[５２]＝ｉ−４７＝５２−４７＝５
　　ｙ［５３］＝２，ｘ[５３]＝ｉ−４７＝５３−４７＝６
　　ｙ［５４］＝２，ｘ[５４]＝ｉ−４７＝５４−４７＝７
　　ｎ−ｙ［５５］−１＝１０−２−１＝７なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［５４］＝８
　　ｙ［５５］＝２，ｘ[５５]＝ｉ−４７＝５５−４７＝８
　　ｎ−ｙ［５５］−１＝１０−２−１＝７なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［５５］＝９
ｊ＝４のとき　　　
　　２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２＝２×１０×４−４×４−４＋２＝６２
　　２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１＝２×１０×４＋１０−４×４−２×４＋１＝６７
　　よって、ｉの範囲は６２≦ｉ＜６７
　　ｙ[ｉ]＝４−１＝３
　　ｘ[ｉ]＝ｉ−（２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２）＋ｊ＝ｉ−（２×１０×４−４×４−４＋２）＋４＝ｉ−５８
　　したがって、
　　ｙ［６２］＝３，ｘ[６２]＝ｉ−５８＝６２−５８＝４
　　ｙ［６３］＝３，ｘ[６３]＝ｉ−５８＝６３−５８＝５
　　ｙ［６４］＝３，ｘ[６４]＝ｉ−５８＝６４−５８＝６
　　ｎ−ｙ［６４］−１＝１０−３−１＝６なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［６４］＝７
　　ｙ［６５］＝３，ｘ[６５]＝ｉ−５８＝６５−５８＝７
　　ｎ−ｙ［６５］−１＝１０−３−１＝６なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［６５］＝８
　　ｙ［６６］＝３，ｘ[６６]＝ｉ−５８＝６６−５８＝８
　　ｎ−ｙ［６６］−１＝１０−２−１＝７なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［６６］＝９
ｊ＝５のとき　　　
　　２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２＝２×１０×５−５×５−５＋２＝７２
　　２＊ｎ＊ｊ＋ｎ−ｊ＊ｊ−２＊ｊ＋１＝２×１０×５＋１０−５×５−２×５＋１＝７６
　　よって、ｉの範囲は７２≦ｉ＜７６
　　ｙ[ｉ]＝５−１＝４
　　ｘ[ｉ]＝ｉ−（２＊ｎ＊ｊ−ｊ＊ｊ−ｊ+２）＋ｊ＝ｉ−（２×１０×５−５×５−５＋２）＋５＝ｉ−６７
　　したがって、
　　ｙ［７２］＝４，ｘ[７２]＝ｉ−６７＝７２−６７＝５
　　ｎ−ｙ［７２］−１＝１０−４−１＝５なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［７２］＝６
　　ｙ［７３］＝４，ｘ[７３]＝ｉ−６７＝７３−６７＝６
　　ｎ−ｙ［７３］−１＝１０−４−１＝５なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［７３］＝７
　　ｙ［７４］＝４，ｘ[７４]＝ｉ−６７＝７４−６７＝７
　　ｎ−ｙ［７４］−１＝１０−４−１＝５なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［７４］＝８
　　ｙ［７５］＝４，ｘ[７５]＝ｉ−６７＝７５−６７＝８
　　ｎ−ｙ［７５］−１＝１０−４−１＝５なのでif(x[i]>=n-y[i]-1)x[i]++;　によりｘ［７５］＝９

以上のトレースにより、ｎ＝１０でもうまくいっていることが分かります。
皆さんは、是非他の偶数次で確認して下さい。　　
　　
では皆さん、以上を参考にして他の色

にも挑戦して下さい。
さらに、奇数の場合も考えてみましょう。
これでどんな値でもｎに代入することのできる普遍的なプログラミングができます。

そして、番号付けに成功したなら、一般種法による魔方陣の高速化に挑戦して下さい。

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