第３講　第２講の魔方陣を高速化しよう！
第３話　１次元ｇと２次元添え字（ｉ，ｊ）の関係−奇数の場合の解説

奇数の場合の例（１９次）

以下の説明では、ｇは上の表の紺色の数字、
ｉｚ（ｇ）はｉ（上の表の赤色の数字）、
ｊｚ（ｇ）はｊ（上の表のピンク色の数字）を表していることに注意してください。
また、エクセルのプログラムソースでは
ｉｚ（ｉ）＝ｉ（座標を作るプロシージャではｇがｉと表されているため。）などとなっていますが、
混乱を避けるためｉｚ（ｇ）＝ｇなどと表記します。
さらに、ｎ＝１９（１９次を例にしていますので）を前提していることも忘れないでください。

　　　 If g < n Then
　　　　　　iz(g) = g
　　　　　　jz(g) = g
　　　　End If
　　　　If g >= n And g < 2 * n - 1 Then
　　　　　　iz(g) = g - n
　　　　　　jz(g) = 2 * n - g - 1
　　　　　　If iz(g) >= jz(g) Then
　　　　　　　　iz(g) = iz(g) + 1
　　　　　　　　jz(g) = jz(g) - 1
　　　　　　End If
　　　　End If
青の部分は明らかです。
ｇ、ｉ、ｊは一致しているからです。
iz(g) = g - nも自然です。
ｇから１９を引けばｉに一致することは表から明らかであるからです。
jz(g) = 2 * n - g - 1はわかりにくいかもしれませんが、
ｇが増えるたびにｊが減っていくことに気がつけば、
気がつくのは容易ではないでしょうか。
例えば、ｇ＝２６なら
ｊｚ（２６）＝２×１９ー２６−１＝１１です。
ほかも表と見比べながら一致することをご確認ください。
さて、
　　　　　　If iz(g) >= jz(g) Then
　　　　　　　　iz(g) = iz(g) + 1
　　　　　　　　jz(g) = jz(g) - 1
　　　　　　End If
はどういう意味でしょうか。
iz(g) = jz(g)とはｇ＝２８で

の位置を示しています。したがって、
　　　　　　　  iz(g) = iz(g) + 1
　　　　　　　　jz(g) = jz(g) - 1
がないとｇ＝２８がｇ＝９と重なってしまいます。
　　　　　　　  iz(g) = iz(g) + 1
　　　　　　　　jz(g) = jz(g) - 1
はｇ＝２８が１つずれて

の位置に来るようにしているのです。
iz(g) > jz(g)
についても同様です。ｇ＝２９以降をすべて１つずつずらしているのです。
問題は
　　　 m = Int(n / 2)

　　　　For j = 1 To m

　　　　　　aj = -j * j + (4 * m + 1) * j + 1
　　　　　　If g >= aj And g < aj + n - 1 - j Then
　　　　　　　　iz(g) = j - 1
　　　　　　　　jz(g) = g - aj + j
　　　　　　　　If jz(g) >= n - j Then jz(g) = jz(g) + 1
　　　　　　End If

　　　　　　bj = -j * j + 4 * m * j + 2 * m + 1
　　　　　　If g >= bj And g < bj + n - 1 - j Then
　　　　　　　　iz(g) = g - bj + j
　　　　　　　　jz(g) = j - 1
　　　　　　　　If iz(g) >= n - j Then iz(g) = iz(g) + 1
　　　　　　End If

　　　　　　cj = -j * j + (2 * m + 3) * j + 3 * m * m + m - 1
　　　　　　If g >= cj And g < cj + m + 1 - j Then
　　　　　　　　iz(g) = m + j - 1
　　　　　　　　jz(g) = g - cj + m + j
　　　　　　End If

　　　　　　dj = -j * j + (2 * m + 2) * j + 3 * m * m + 2 * m
　　　　　　If g >= dj And g < dj + m + 1 + j Then
　　　　　　　　iz(g) = g - dj + m + j
　　　　　　　　jz(g) = m + j - 1
　　　　　　End If
　　　　Next
の記述でしょう。
aj、bj、ｃｊ、djで始まるそれぞれの部分は、
順に水色、黄色、薄紫色、薄紺色に対応しています。
まずajすなわち水色から見ていきましょう。
赤色を付けた３７，７１，１０３，１３３，１６１，１８７，２１１，２３３，２５３は
aj = -j * j + (4 * m + 1) * j + 1において、
ｊが１，２，３，４，５，６，７，８，９の値をとる場合に相当します。
しかも、１９次だけでなく奇数次ならすべて当てはまります。
例えば、１７次ならｍ＝８（m = Int(n / 2)なので）で
３３，６３，９１，１１７，１４１，１６３，１８３，２０１となります。
つまり、aj = -j * j + (4 * m + 1) * j + 1は
次数にかかわらず普遍的（一般的）に成り立つわけです。
つまり、ａｊは次数に関わらず共通のｊの２次関数になっているのです。

したがって、g >= aj And g < aj + n - 1 - jによって、
１行目なら３７以上５３以下
２行目なら７１以上８６以下
３行目なら１０３以上１１７以下
４行目なら１３３以上１４６以下
　　　　・
　　　　・
となり、
iz(g) = j - 1
は自然といえます。
ｆｏｒ文はｊを１から始めていますので１引いているのです。
jz(g) = g - aj + j
のｊはjz(g)の始まりが１行進むごと右にずれているので、
それに対応するためです。
ではIf jz(g) >= n - j Then jz(g) = jz(g) + 1
の意味は何でしょうか。
これは逆対角線に重なるか、
それより右にあるときは右に１個ずらすという命令です。
これは例えば８６が逆対角線上の２０と重ならないようにしています。
逆対角線と重なるかそれより右にあるときは、
１個ずらさないと対角線を飛び越して入れるという原則に反してしまうからです。

ajの部分がわかればbj以降の理解も容易でしょう。
bjにおいては、
５４，８７，１１８，１４７，１７４，１９９，２２２，２４３，２６３が
bj = -j * j + 4 * m * j + 2 * m + 1
の式に従っているのです。つまりｊの２次関数になっているのです。
If iz(g) >= n - j Then iz(g) = iz(g) + 1
も逆対角線を飛ぶように命令しているのです。
cjとdjでは逆対角線を横切る心配がないので、
ｉｆ文に相当する部分はありません。

どうですか。
かなり難解に見えたソースの仕掛けが見えてきたのではないでしょうか。

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