超拡大ピタゴラス数問題
ａ，ｂ，ｃを有理数とするとき、
は、整数解（自然数解も含む）をもつであろうか。余弦定理における自然数解問題（拡大ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽ数問題）を手がかりに、この問題を考えてみよう。拡大ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽ数では、一つが媒介変数αの一次関数で、他の二つはαの二次関数となった。
そこで、
とおいてみよう。すると、
これが、完全平方になるように、
とおく。よって
、
ここで
とおけば、
また、②から
すなわち、
よって、
ならば
すなわち、
したがって、
ゆえに、
よって、ｚ＞０，ｘ＞０，ｙ＞０（正の有理数）に限定すると、
十分大きいｘまたは十分小さいｘに対して
を満たすから、
ｐ＞０として両辺に
をかけて、
よって、でｃが平方数ならば
は
の正の有理数解であり、ｐやｘに応じて無限に存在する。そして、
の分母の公倍数をかければ、自然数解となるので、自然数解は無限に存在する。
それではいくつかの自然数解を示すことにしよう。
Ⅰ ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝１のとき
ｐ＝１とすると
①
ｘ＝２のとき、（３２，１７，６３）
②
ｘ＝３のとき、（４８，７３，１４３）
③
ｘ＝４のとき、（６４，１６１，２５５）
④
ｘ＝５のとき、（８０，２８１，３９９）
⑤
ｘ＝６のとき、（９６，４３３，５７５）
ｐ＝２とすると、
①
ｘ＝３のとき、（９６，４３３，５７５）
②
ｘ＝４のとき、（１２８，８３３，１０２３）
③
ｘ＝５のとき、（１６０，１３６１，１５９９）
④
ｘ＝６のとき、（１９２，２０１７，２３０３）
⑤
ｘ＝７のとき、（２２４，２８０１，３１３５）
Ⅱ ａ＝－２，ｂ＝５，ｃ＝１のとき
ｐ＝１のとき
①
ｘ＝２のとき、（３２，１７，３１）
②
ｘ＝３のとき、（４８，５７，１１１）
③
ｘ＝４のとき、（６４，１２９，２２３）
④
ｘ＝５のとき、（８０，２３３，３６７）
⑤
ｘ＝６のとき、（９６，３６９，５４３）
ｐ＝２のとき、
①
ｘ＝１のとき、（３２，１７，３１）
②
ｘ＝２のとき、（６４，１２９，２２３）
③
ｘ＝３のとき、（９６，３６９，５４３）
④
ｘ＝４のとき、（１２８，７３７，９９１）
⑤
ｘ＝５のとき、（１６０，１２３３，１５６７）
Ⅲ ａ＝３，ｂ＝－１，ｃ＝４のとき、
ｐ＝１とすると、
①
ｘ＝１のとき、（２５６，２４１，６０６）
②
ｘ＝２のとき、（５１２，１０４１，２１４２）
③
ｘ＝３のとき、（７６８，２３５３，４７０２）
