４次魔方陣を作ろう！

君たちは、前回３次魔方陣に挑戦した。今回は４次魔方陣に挑戦しよう。
３次と違って、今回はかなり難しいぞ！

３０分はヒントを見ないで考えよう。
算数数学の楽しさは、考えることにあるのだよ。


でも先生,答えは前のページに書いてあるよって？
４次魔方陣の答えは、たくさんある。後で解説するけど、１０個や２０個のレベルではない。
だから、１０人の小中学生が正解を出したとしても、おそらく１つも同じものはないだろうね。

ヒントを書く前に自己紹介をしておこう。
トップページを見てもらえば、わかると思うけど僕は県立高校の先生だよ。
数学と情報を担当している。
出身学科は、物理学科（理科の第一分野に物理があるよね。）だから物理も得意。
その他、哲学や経済学や言語学なども好きで本をよく読んでいる。
最初は社会（公民）の先生になろうかなと思っていたほど。
現在は、３年生理系クラスの担任。

県立高校の先生になる前は塾教師もしていた。
だから、小中学生も教えていた。
塾教師時代中学１年生から５次魔方陣の作り方を教わってから魔方陣にはまってしまった。
後で紹介するけど、その方法は非常に簡単なものだ。
なぜ、この簡単な方法でできてしまうのかが不思議でならず研究を始めたというわけ。
魔方陣の研究に関しては、僕なりのこだわりがある。
基本的には本やネットは見ないで研究するということ。
自分１人でどこまできるのか挑戦したいから。
したがって、以下に述べていく研究のほとんどは僕が発見したもの。
分量は、本２冊が書けるほどのものになるけど、
魔方陣に関してはおそらく１％も解明していない。
魔方陣に関しては謎はいっぱい。
君たちも研究して謎を解明していこう。


ヒント１

４次魔方陣は３次魔方陣より遙かに難しい。
理由は、埋める数字が９種類から１６種類に増えるだけではない。
それ以外の理由は３つある。
�@キーとなるセル（ます）の存在
�Aキーとなる数字の存在
�B補数の組の多さ

�@キーとなるセル（ます）の存在
３次魔方陣では４回も登場するセル（ます）があった。

ａ＋ｅ＋ｉ＝１５
ｃ＋ｅ＋ｇ＝１５
ｂ＋ｅ＋ｈ＝１５
ｄ＋ｅ＋ｆ＝１５
というわけで、ｅは合計を１５にするために４回も登場する。
だから、セルｅは３方陣のキーとなるセルだ。

ところが、４次魔方陣ではどうだろうか。

ａ＋ｆ＋ｋ＋ｐ＝３４
ｂ＋ｆ＋ｊ＋ｎ＝３４
ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＝３４
となりｆは３回登場する。
同様に対角線上のセルは、すべて３回登場するが、
４回登場するセルは１個もない。
３次魔方陣では、対角線がｅのところで交差していたので、ｅは４回登場してキーとなった。
しかし、４次魔方陣ではキーとなるセルが存在しない。


�Aキーとなる数字の存在
３次の場合は、
（１＋２＋３＋・・・＋９）÷９＝５（これは１行の合計÷３＝５と同じ。）
行や列や対角線の平均である数字５があったが、
４次の場合、
（１＋２＋３＋・・・＋１６）÷１６＝８．５（これは１行の合計÷４＝８．５と同じ。）
で行などの平均となる数字は存在しない。
つまり、３次魔方陣のようにキーとなる数字が存在しないのである。


�B補数の組の多さ
まず補数から説明しよう。３次魔方陣を例に説明すると、
ａ＋ｅ＋ｉ＝１５
ｅにはキーとなる数字５が入るので、
ａ＋ｉ＝１０である。１０は全体の平均５の２倍である。
このように２つの数を足したとき、平均の２倍になるとき、
ａとｉは互いに補数という。魔方陣作成の際には、補数をうまく組み合わせることがコツの１つとなる。
３次魔方陣の場合は、補数の組は（１，９）（２，８）（３，７）（４，６）の４組。
４次魔方陣の場合は、（１，１６）（２，１５）（３，１４）・・・（８，９）の８組。
３次魔方陣の場合はキーとなる真ん中のセルにキーとなる数字５を入れてから、
残りは補数の組を入れていって、各列各行の合計が同じになるものを探せばよかった。
補数の組み合わせが少ないので、試行錯誤で可能であったが、４次では補数の組が多すぎる。


以上から４次魔方陣を作成するには、工夫をする必要がある。
次回、その工夫を考えてみよう。