第13章 様々な魔方陣の作成および自動生成
第８話 種についての解説
種は「たね」と読んでも「しゅ」と読んでもどちらでも結構です。
私も気分で言い換えています。
一文字の場合は「たね」と読みますし、
これから説明する一般種と特殊種では「しゅ」と読み分けています。
第１話で２本の対角線・すべて行・すべての列の合計が10なっていると申し上げました。
これを私は一般種と定義します。
実はもう一つ条件があります。
それは、使われている数字0，1，2，3，4がすべて５個ずつという条件です。
７次なら使われている数字がすべて７個であって、
２本の対角線・すべて行・すべての列の合計が同じものです。
この場合には２本の対角線・すべて行・すべての列の合計
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 17
は17になります。
そして、素数次では異なるずらし方をすれば異なる種となります。
ただし、５次の場合ずらし方が２ずらしと３ずらしかないので本質的には同一の魔方陣になってしまいます。
７次の場合はずらし方が２ずらし、３ずらし、４ずらしの３通りです。
0，1，2，3，4，5，6
１ずらしを行うと
6，0，1，2，3，4，5
２ずらしを行うと
5，6，0，1，2，3，4
３ずらしを行うと
4，5，6，0，1，2，3
４ずらしを行うと
3，4，5，6，0，1，2
５ずらしを行うと
2，3，4，5，6，0，1
で５通りではと思いますね。
しかし、対角線と副対角線のことを考えると1ずらしと５ずらしはないのです。
５次での例示になりますが、1つずらしだと対角線に0，0，0，0，0が並んでしまい合計は10になりません。
４ずらしだと副対角線に4，4，4，4，4が並んでしまい合計は10になりません。
４ずらしは逆１ずらしと同じなのです。
５次での例示になりましたが、７次の場合でも１ずらしと５ずらしはダメなのはご自分でエクセルなどを使って確認してください。
ですから１ずらしと５ずらしはだめなのです。
今まで作った種は実はもう一つの特徴がります。
それは、どの行・どの列・どの対角線にも0，1，2，3，4の異なる数字が並ぶのです。
このときその種を特殊種と呼びます。
もちろんすべての特殊種は一般種の条件を満たしますので、
一般種です。
一般種という集合の真部分集合として特殊種の集合があるわけです。
素数次のときの２ずらしなどはすべて一般種であり特殊種です。
素数次の言葉が連発されていますが、素数以外の奇数では成り立ちません。
ですが、ただ２つ認められる並びとずらし方があります。
先頭に真ん中の数字が配置されそれ以外は任意で素数次では禁じられていた１ずらしです。
もう１つは真ん中の数字が最後に来てそれ以外は任意でこれもそう数字では禁じられていた逆１ずらしです。
偶数ではこの様な便利な方法はありませんので、
自動生成を考えることになります。
６次で言えば0，1，2，3，4，5の数字が６個ずつで対角線の合計も行の合計も列の合計も
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15になるものをコンピュータに探させるのです。
最後になりますが、もう一つ種には条件があります。
それは、２つの種はたねは直交しなければならないということです。
直交とは左の数字をｙ座標の数字をｘ座標として（プログラミングにおいては縦座標すなわりｙ座標、横座標すなわちｘ座標の順に書くことに注意！）
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（0，3）、（0，4）
（1，0）、（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）
（3，0）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）
（4，0）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）
を作ったときに、重複するものがない場合です。上の２つの種は重複しないので直交しています。
