ずらし法で偶数次魔方陣を作ろう！　その１

今回は、ずらし法で偶数次魔方陣を作ってみよう。
まず、偶数とは何かな。
前回が奇数で、今回が偶数だから予想がつくよね。
奇数は２で割りきれない整数だったから、当然偶数は２で割り切れる整数。
したがって、２，４，６，８，・・・がそれだ。
さらに、断っておくとこのこれから解説する方法では、
４，８，１２，１６，・・・といった４の倍数のみしかできない。
つまり、６，１０，１４，・・・などはずらし法では僕の研究した範囲ではできない。
だから見出しは正確には４の倍数次魔方陣を作ろうだ。

偶数次魔方陣は、奇数次以上の工夫がいる。
できる魔方陣数は、奇数次より制約されているのでより少ない。
といっても、１２次魔方陣あたりでは天文学的な数字にはなる。

偶数次魔方陣の作り方を説明する前に言葉の約束事をしておこう。
魔方陣種における補数を定義しておく。
ｎ次魔方陣種のおけるａの補数をｎ−１−ａと定義する。
４次魔方陣種における２の補数なら４−１−２＝１だ。
１１次魔方陣種における３の補数なら１１−１−３＝７
つまり互いに補数になっている２数を足すとｎ−１となる。
１１次魔方陣なら補数の和は１０。
１１次魔方陣種を作るには、０，１，２，３，４，・・・，９，１０の数字を１行目に入れるわけだが、
１０とは最大の数である。
１１次場合の補数の組は（０，１０）（１，９）（２，８）（３，７）（４，６）
４次の場合なら（０，３）（１，２）である。
８次なら（０，７）（１，６）（２，５）（３，６）。合計がすべて８−１＝７になっているよね。

これから４の倍数次魔方陣の作り方を説明するが、現時点では理解できなくても全く問題ない。
後の４次や８次の具体的な場合の説明を読めば、理解できるはずだからだ。
算数や数学も推理小説と同じで最後まで読まないとわからない場合も多いんだよ。
だから、授業ときわからないことを理由に聞かないのはだめだよ。
（僕の前で、わからないから聞かなかったといういいわけをいうと、その生徒は激怒される。
わからないからこそ聞くんだよ。）
理解できなかった場合すべて読んでからここに戻って読んで欲しい。
意味が明瞭になるはずである。

２×ｎ方陣の作り方をまとめておこう。（ｎは偶数。２，４，６，８，・・・である。）
まず１個目の種を次の手順で作る。
１行目に入れることのできる順列に大きな制約がある。
前半のセル（ます）には１つの制約があるだけで自由に入れられる。
後半のセルはｎ個前のセルに入れた整数の補数を入れなければならないので、一通りに決まっている。
前半のセルの制約とは、前半のセルの中に補数の組が存在してはならないというものである。
８次を例にすれば（０，７）などの組が前半のセルの中に入っていてはいけない、ということだ。
１行目にすべての数字が入れられたら２行目以降は２ずらしを行う。
２個目の種は１個目の種を縦横を逆にする。すなわち、行を列にするということ。
そして、２つを合成すれば完成。しかも、これは普通の魔方陣ではない。
何ができるかは乞うご期待。

では４次魔方陣を作ってみよう。
１行目の前半２つのセルには、０〜３から補数の組でない２つを自由に選べる。
禁止の組は、０３，３０，１２，２１である。これらは互いに補数である。
だから、４次の場合前半のセルに入れることのできる数字の組は０１，１０，０２，２０，１３，３１，２３，３２
ここでは０１を入れるとして説明しよう。小中学生の諸君は、他の組で挑戦！

後半のセルは２個前のセルにはいっている整数の補数が入るので、
３個目のセルは０の補数で３と自動的に決まってしまう。
４個目も１の補数で２。

後は２ずらしをして

これで１個目の種の完成

２個目は、縦横を逆にする。

１行目が１列目、２行目が２列目、３行目が３列目、４行目が４列目になっている。
（前にも言った通り、行とは横、列とは縦を指す。）
このように行と列を反対にすることを転置するという。

２つの種は、幸運なことに直交している。
合成して

この魔方陣はなんと！！！
この魔方陣には驚くべき秘密がたくさん隠されている。
（僕も本当のことを言うと、これを書いている今か気がついたんだよ。）
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